題目描述

廣義的斐波那契數列是指形如an=p*an-1+q*an-2的數列。今給定數列的兩系數p和q，以及數列的最前兩項a1和a2，另給出兩個整數n和m，試求數列的第n項an除以m的余數。

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輸入格式：

輸入包含一行6個整數。依次是p,q,a1,a2,n,m，其中在p,q,a1,a2整數範圍內，n和m在長整數範圍內。

輸出格式：

輸出包含一行一個整數，即an除以m的余數。

輸入輸出樣例

1 1 1 1 10 7

6

說明

數列第10項是55，除以7的余數為6。

我們來通過這個題講一下斐波那契數列怎麽用矩陣乘法來優化吧

我們知道對於斐波那契數列我們有這樣的遞推式：f[n]=f[n-1]+f[n-2]

通常情況下，我們計算f(n)的時間復雜度就是O(n)（分別計算f(1), f(2) ... f(n - 1)）.
但是當n很大又或者還有其他處理的復雜度一疊加便會超時。

所以當n很大的時候，我們的遞推式便不起作用了，我們應該像一種辦法來優化一下這個遞推式，怎麽辦呢，我們看到這個式子有加，有乘，我們就一般會想到矩陣乘法（這時候就有人會問了，博主，你眼瞎啊，明明就是個加法的式子，你說他有乘法。。。）額、、對於這個問題，我們可以將上面的式子做一個小小的變形，將它變成f[n]=f[n-1]*1+f[n-2]*1, f[n-1]=f[n-1]*1+f[n-2]*0

我們在這個地方普及一下矩陣乘法優化遞推式的特征：形如f(n) = a1 * f(n - 1) + a2 * f(n - 2) + ... + ak * f(n - k)+c (c為常數）

然後我們可以將他組成這樣的一個矩陣

然後我們進行矩陣乘法

來，看看代碼：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define mod 100000000
using namespace std;
int n;
int read()
{
    
 
int x=0,f=1; char ch=getchar();
    while(ch<‘0‘||ch>‘9‘){if(ch==‘-‘)f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘) x=x*10+ch-‘0‘,ch=getchar();
    return x*f;
}
struct Node
{
    long long m[3][3];
    Node(){memset(m,0,sizeof(m));}
}mb,ans;
int GCD(int a,int b)
{
    if(b==0) return a;
    return GCD(b,a%b);
}
Node operator*(Node a,Node b)
{
    Node c;
    for(int i=1;i<=2;i++)
     for(int j=1;j<=2;j++)
      for(int k=1;k<=2;k++)
       c.m[i][j]=(c.m[i][j]%mod+a.m[i][k]*b.m[k][j]%mod)%mod;
    return c;
}
int main()
{
    n=read();n--;
    mb.m[1][1]=mb.m[1][2]=mb.m[2][1]=1;
    ans.m[1][1]=ans.m[2][2]=1;
    while(n)
    {
        if(1&n) ans=ans*mb;
        mb=mb*mb;n>>=1;
    }
    cout<<ans.m[1][1];
    return 0;
}

對於這個式子，我們可以根據樸素的斐波那契的矩陣乘法的形式將式子推出來

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
long long q,p,a1,a2,n,mod;
long long read()
{
    long long x=0,f=1; char ch=getchar();
    while(ch<‘0‘||ch>‘9‘){if(ch==‘-‘)f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘) x=x*10+ch-‘0‘,ch=getchar();
    return x*f;
}
struct Node 
{
    long long m[3][3];
    Node(){memset(m,0,sizeof(m));}
}begin,ans;
Node operator*(Node a,Node b)
{
    Node c;
    for(int i=1;i<=2;i++)
     for(int j=1;j<=2;j++)
      for(int k=1;k<=2;k++)
       c.m[i][j]=(c.m[i][j]%mod+(a.m[i][k]%mod*b.m[k][j]%mod)%mod)%mod;
    return c;
}
int main()
{
    p=read(),q=read(),a1=read(),a2=read();
    n=read(),mod=read();n-=2;
    ans.m[1][1]=a2,ans.m[1][2]=a1;
    begin.m[1][1]=p,begin.m[2][1]=q,begin.m[1][2]=1;
    while(n)
    {
        if(n&1) ans=ans*begin;
        begin=begin*begin;
        n>>=1;
    }
    if(n+2==1) cout<<ans.m[1][2]%mod;
    else cout<<ans.m[1][1]%mod;
    return 0;
}

洛谷——P1349 廣義斐波那契數列