「Luogu 1349」廣義斐波那契數列
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Portal1: Luogu
Description
廣義的斐波那契數列是指形如\(an=p \times a_{n-1}+q \times a_{n-2}\)的數列。今給定數列的兩係數\(p\)和\(q\)，以及數列的最前兩項\(a_1\)和\(a_2\)，另給出兩個整數\(n\)和\(m\)，試求數列的第\(n\)項\(a_n\)除以\(m\)的餘數。
Input
輸入包含一行6個整數。依次是\(p\),\(q\),\(a_1\),\(a_2\),\(n\),\(m\)，其中在\(p\),\(q\),\(a_1\),\(a_2\)整數範圍內，\(n\)和\(m\)在長整數範圍內。
Output
輸出包含一行一個整數，即\(a_n\)除以\(m\)的餘數。
Sample Input
1 1 1 1 10 7Sample Output
6Hint
數列第\(10\)項是\(55\)，除以\(7\)的餘數為\(6\)。
Solution
基本斐波那契數列矩陣是\(T = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\)；
廣義斐波那契數列矩陣是\(F = \begin{bmatrix} p & 1 \\ q & 0 \end{bmatrix}\)。
那麼要求的就是：
\[\begin{aligned} F_i & = F_{i - 1} \times T \\\\ & = \begin{bmatrix} f_{i - 1} & f_{i - 2} \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \\\\ & = \begin{bmatrix} f_{i - 1} + f_{i - 2} & f_{i - 1} \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \\\\ & = \begin{bmatrix} f_i & f_{i - 1} \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \end{aligned}\]
然後就可以用矩陣快速冪來解決了。
Code
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long LL;
struct Matrix {
LL a[2][2];
inline void clear() {//矩陣清空
memset(a, 0, sizeof(a));
}
inline void init() {//單位矩陣
memset(a, 0, sizeof(a));
for (int i = 0; i < 2; i++)
a[i][i] = 1;
}
};
LL n, p, q, a1, a2, mod;
Matrix F, a, ans;
inline LL Plus(LL x, LL y) {
x += y;
if (x >= mod) x -= mod;
return x;
}
inline LL power(LL x, LL y) {//快速冪
LL ret = 0;
while (y) {
if (y & 1) ret = (ret + x) % mod;
x = (x + x) % mod;
y >>= 1;
}
return ret;
}
Matrix operator * (Matrix a, Matrix b) {//矩陣乘法
Matrix ret;
ret.clear();
for (int i = 0; i < 2; i++)
for (int j = 0; j < 2; j++)
for (int k = 0; k < 2; k++)
ret.a[i][j] = Plus(ret.a[i][j] % mod, power(a.a[i][k], b.a[k][j])% mod) % mod;
return ret;
}
inline Matrix Matrix_Power(Matrix a, LL x) {//矩陣快速冪
Matrix ret;
ret.init();
while (x) {
if (x & 1) ret = ret * a;
x >>= 1;
a = a * a;
}
return ret;
}
int main() {
scanf("%lld%lld%lld%lld%lld%lld", &q, &p, &a1, &a2, &n, &mod);
F.a[0][0] = a1, F.a[0][1] = a2;
a.a[0][0] = 0, a.a[1][0] = 1, a.a[0][1] = p; a.a[1][1] = q;
ans = F * Matrix_Power(a, n - 2);
printf("%lld\n", ans.a[0][1] % mod);
return 0;
}