知識點：

1.整數

1.1埃氏篩法：暴力枚舉打表 O(nloglogn)

1.2線性篩法：對於每個數x，遇到x%prime[i]==0的第一個i退出，使得每個合數都被它的最小質因子篩掉 O(n)

例1.1H-合成數poj3292：暴力的一題 篩數打標記O(nlogn)

例1.2求最小質數：平均每O(logn)會出現一個質數，於是暴力即可 O(sqrt(n)logn)

1.3 輾轉相除法

gcd(a,b)=gcd(a-b,b)=gcd(b,a%b) 時間復雜度O(logn)

ab=gcd(a,b)*lcm(a,b)

二進制優化

 1 int gcd(int a,int b)
 2 {
 3     if
 
(!a || !b)
 4       return a^b;
 5     int i=0,j=0;
 6     while(!(a&1))
 7       a>>=1,i++;
 8     while(!(b&1))
 9       b>>=1,j++;
10     while(a!=b)
11       {
12        if(a<b)
13          a^=b,b^=a,a^=b;
14        a-=b;
15        while(!(a&1))
16          a>>=1;
17
 
       }
18     return a<<min(i,j);
19 }

時間復雜度O(logn)不變，常數更小

1.4 拓展歐幾裏得

證明：

要解ax+by=c

設a’=b，b’=a%b，

解出a’x’+b’y’=c

即bx’+(a-[a/b]*b)y’=c

即ay’+b(x’-[a/b]y’)=c

所以x=y‘ y=x‘-[a/b]y‘

遞歸到b==0時，x=1 y=0

 1 void exgcd(int a,int b,int c,int &x,int &y,int &p)
 2 {
 3     if(b==0)
 4       if
 
(c%a==0)
 5         {
 6          x=c/a;
 7          y=0;
 8         }
 9       else
10         p=-1;
11     else
12       {
13        int xx,yy;
14        exgcd(b,a%b,c,xx,yy,p);
15        if(p==-1)
16          return;
17        x=yy;
18        y=xx-a/b*yy;
19       }
20 }

例1.3 gcd區間

題目來源：洛谷1890

dp+暴力

時間復雜度O(n^2logn+m)

例1.4 最大公約數和最小公倍數

題目來源：洛谷1029

質因數分解即可

2.同余

2.1 快速冪

2.2 線性求逆元

i^-1 ≡ -[p/i]*(p%i)^-1

2.3 費馬小定理

若p是質數，則a^p-1 ≡1 (mod p)

2.4 歐拉定理

若(a,p)=1，則a^φ(p) ≡1 (mod p)

2.5 快速求逆元

extgcd或快速冪

例2.1 青蛙的約會

題目來源：poj1061

同余方程，記得取最小解

2.6 中國剩余定理

解方程x ≡ai (mod pi)，其中pi兩兩互質。

記qij表示pi在模pj意義下的逆元。

x ≡ Σ(ai*Σ(pj*qji)) (mod p1p2…pn)。

例2.2 Biorhythms

題目來源：poj1006

典型的中國剩余定理

3.積性函數

3.1 積性函數

如果對於任意正整數a,b，都有f(a)*f(b)=f(ab)，則稱f為完全積性函數。

如果對於任意滿足gcd(a,b)=1的正整數a,b，都有f(a)*f(b)=f(ab)，則稱f為積性函數。

3.2 求歐拉函數

線性篩法即可

例3.1 Visible Lattice Points

題目來源：poj3090

模板題

4.一些水題

4.1 教堂

有一個n*m的點陣，每個點可以走到8個方向上的點。

水平或垂直方向上相鄰的點之間的距離為1。

你需要從某個點出發，遍歷所有的點並回到起點。

問最短路程。 n,m<=10000。

詭異的一題，分類討論奇偶性

4.2 sumdiv

題目來源：poj1845

分解質因數+等比數列通項公式

4.3 奶牛分廄

題目來源：洛谷1154

很巧妙的做法
a%k==b%k等價於k|(a-b)
然後給所有的xi-xj打標記
之後用類似埃氏篩法的思想從大到小依次篩

從大到小枚舉i，如果i的倍數中存在一個數是因數，那麽i也是因數。

4.4 數列

題目來源：洛谷1062

二進制判斷大小，k進制輸出答案即可

4.5 Hankson的趣味題

篩到45000左右，依次判斷每個質數即可

4.6 GCD SUM

考慮枚舉k，求出gcd恰好為k的數對個數。

不難發現gcd是k的倍數的數對個數是[n/k]2。

把gcd是2k,3k,4k,….的個數扣掉就好啦。

4.7 數三角形

組合數+gcd

浴谷夏令營2017.8.1數論的整理