關於樹的簡單整理
整理一些樹的，基本的，簡單的一些知識。
先寫一下關於樹的定義，相關術語。
樹，父節點、子節點、子樹、祖先、兄弟、根節點、葉節點、直徑、路徑、重心、直徑、最近公共祖先、生成樹、dfs序，樹形dp等
1、最近公共祖先
一般用倍增求LCA（Least Common Ancestors）。
按照樸素的做法，就是深的點跳到同一高度，然後兩個點一齊往上跳。跳到同一位置。
這樣其實不慢，一般的樹，深度為logn，所以這個復雜度可以是logn。但如果樹成了一條鏈，那麽復雜度就是O(n)。
而倍增求LCA，和這個思想是一樣的，深的點跳到同一高度，然後兩個點一齊往上跳。不過它不是一個點一個點的跳，看下面。
對於任何的數字都可以分解成2的次冪相加的形式（7 = 2^2+2^1+2^0,10 = 2^3+2^1...），證明也很簡單，任何一個十進制都可以分解成二進制表示。
那麽對於跳的任何高度都可以用二進制表示（跳7個,7 = 2^2+2^1+2^0，跳10個10 = 2^3+2^1），那麽我們預處理出每個點往上跳2的次冪的點，所到達的點是誰就好了。
然後和上面一樣跳。
這樣明顯比上面的快。
貼一下代碼 luogu3379
1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 #include<algorithm> 4View Code5 using namespace std; 6 const int N = 1000100; 7 8 struct Edge { 9 int v,nxt; 10 } e[N]; 11 int f[N][25]; 12 int deth[N]; 13 int head[N]; 14 int n,m,s,tot,a,b,d; 15 16 void add(int u,int v) { 17 tot++; 18 e[tot].v = v; 19 e[tot].nxt = head[u]; 20 head[u] = tot;21 } 22 23 void dfs(int x) { 24 for (int i=head[x]; i; i=e[i].nxt) { 25 int v = e[i].v; 26 if(!deth[v]) 27 { 28 deth[v] = deth[x]+1; 29 f[v][0] = x; 30 dfs(v); 31 } 32 } 33 } 34 35 void init() { 36 for (int j=1; j<=20; ++j) 37 for (int i=1; i<=n; ++i) 38 f[i][j] = f[f[i][j-1]][j-1]; 39 } 40 41 int lca(int u,int v) { 42 if (deth[u] < deth[v]) swap(u,v); 43 /*for (int i=20; i>=0; --i) 44 { 45 if (deth[f[u][i]] >= deth[v]) 46 u = f[u][i]; 47 }*/ 48 d = deth[u]-deth[v]; 49 for (int i=0; i<=20; ++i) { 50 if ((1<<i) & d) 51 u = f[u][i]; 52 } 53 if (u==v) return u; 54 for (int i=20; i>=0; --i) { 55 if(f[u][i] != f[v][i]) { 56 u = f[u][i]; 57 v = f[v][i]; 58 } 59 } 60 return f[u][0]; 61 } 62 63 int main() { 64 scanf("%d%d%d",&n,&m,&s); 65 for (int i=1; i<n; ++i) { 66 scanf("%d%d",&a,&b); 67 add(a,b); 68 add(b,a); 69 } 70 deth[s] = 1; 71 f[s][0] = 0; 72 dfs(s); 73 init(); 74 for (int i=1; i<=m; ++i) { 75 scanf("%d%d",&a,&b); 76 printf("%d\n",lca(a,b)); 77 } 78 return 0; 79 }
2、生成樹
生成樹計數
最小/大生成樹
prime算法和kruskal 算法。一般用kruskal 吧。
kruskal 算法原理很簡單，以最小生成樹為例。求最大的權值盡量小和且構成一棵樹。
先按每條邊的權值大小排序，從小到大依次加入，並查集判斷是否成為連通圖了即可
代碼
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<algorithm> 4 5 using namespace std; 6 7 const int MAXM = 200100; 8 const int MAXN = 100100; 9 10 struct edge { 11 int a,b,c; 12 } e[MAXM]; 13 int fa[MAXN]; 14 15 int find(int a) { 16 return fa[a]==a?a:fa[a]=find(fa[a]); 17 } 18 bool cmp(edge a,edge b) { 19 return a.c<b.c; 20 } 21 int main() { 22 int n,m,ans,cnt; 23 scanf("%d%d",&n,&m); 24 for(int i=1; i<=n; ++i) fa[i] = i; 25 for(int i=1; i<=m; ++i) { 26 int a,b,c; 27 scanf("%d%d%d",&a,&b,&c); 28 e[i].a=a; 29 e[i].b=b; 30 e[i].c=c; 31 } 32 sort(e+1,e+m+1,cmp); 33 for(int i=1; i<=m; ++i) { 34 int aa = find(e[i].a); 35 int bb = find(e[i].b); 36 if(aa!=bb) { 37 cnt++; 38 fa[aa] = bb; 39 ans += e[i].c; 40 if(cnt==(n-1))break; 41 } 42 } 43 if(cnt==(n-1)) cout<<ans; 44 else cout<<"-1"; 45 return 0; 46 }View Code
3、樹的直徑
兩次bfs(dfs)，指定任意一點為根，搜索出距離這個根最遠的點a，然後搜距離a最遠的點b，ab之間的路徑為為樹的直徑。
代碼 原題（poj2631 Roads in the North）
1 #include<cstdio> 2 #include<queue> 3 #include<algorithm> 4 #include<cstring> 5 6 using namespace std; 7 8 const int MAXN = 10010; 9 10 struct Edge{ 11 int to,w,nxt; 12 Edge(){} 13 Edge(int x,int y,int z){to = x,w = y,nxt = z;} 14 }e[500100]; 15 16 int head[MAXN<<1],dis[MAXN]; 17 int tot; 18 queue<int>q; 19 20 int bfs(int x) 21 { 22 memset(dis,-1,sizeof(dis)); 23 q.push(x); 24 dis[x] = 0; 25 int id,mx = 0; 26 27 while (!q.empty()) 28 { 29 int u = q.front(); 30 q.pop(); 31 for (int i=head[u]; i; i=e[i].nxt) 32 { 33 int v = e[i].to, w = e[i].w; 34 if (dis[v]==-1) //雙向邊，只算一次 35 { 36 dis[v] = dis[u]+w; 37 if (dis[v]>mx) mx = dis[v],id = v; 38 q.push(v); 39 } 40 } 41 } 42 return id; 43 } 44 int main() 45 { 46 int u,v,w; 47 while (scanf("%d%d%d",&u,&v,&w)!=EOF) 48 { 49 e[++tot] = Edge(v,w,head[u]); 50 head[u] = tot; 51 e[++tot] = Edge(u,w,head[v]); 52 head[v] = tot; 53 } 54 printf("%d",dis[bfs(bfs(1))]); 55 return 0; 56 }View Code
4、樹的重心
樹的重心定義：樹中的一個點,刪掉這個點，使得剩下的樹所構成的森林中最大的子樹節點數最少。
樹的重心推論：
1.設樹上的一個點S，樹上其余所有點到S點的距離之和最小，那麽S就是重心。
2.樹的重心不唯一。
然後可以依靠定義來求樹的重心。
首先以任意一個點，進行dfs，dfs過程中統計以每個點為根的子樹中，一共含有多少節點。
然後 總節點數 減去 子樹的節點數 減去1(自己)，就是它父親那邊點的數量。
做差之後取最小值。
代碼：poj3107
1 #include<cstdio> 2 #include<algorithm> 3 #include<cstring> 4 5 using namespace std; 6 7 const int MAXN = 50010; 8 const int MAXM = 100010; 9 10 struct Edge{ 11 int to,nxt; 12 }e[MAXM]; 13 int head[MAXM],tot; 14 int son[MAXN]; 15 int ans[MAXN],p,Ans = 1e9,n; 16 17 inline int read() { 18 int x = 0,f = 1;char ch = getchar(); 19 for (; ch<‘0‘||ch>‘9‘; ch = getchar()) 20 if (ch==‘-‘) f = -1; 21 for (; ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘; ch = getchar()) 22 x = x*10+ch-‘0‘; 23 return x*f; 24 } 25 inline void init() { 26 memset(head,0,sizeof(head)); 27 memset(son,0,sizeof(son)); 28 tot = 0; 29 } 30 inline void add_edge(int u,int v) { 31 e[++tot].to = v,e[tot].nxt = head[u],head[u] = tot; 32 } 33 void dfs(int u,int fa) { 34 int cnt = 0; 35 for (int i=head[u]; i; i=e[i].nxt) { 36 int v = e[i].to; 37 if (v==fa) continue; 38 dfs(v,u); 39 son[u] += son[v]+1; 40 cnt = max(cnt,son[v]+1); 41 } 42 cnt = max(cnt,n-son[u]-1); 43 if (cnt<Ans) {Ans = cnt,p = 0,ans[++p] = u;} 44 else if (cnt==Ans) {ans[++p] = u;} 45 } 46 int main() { 47 48 while (scanf("%d",&n)!=EOF) { 49 init(); 50 for (int u,v,i=1; i<n; ++i) { 51 u = read(),v = read(); 52 add_edge(u,v),add_edge(v,u); 53 } 54 dfs(1,0); 55 sort(ans+1,ans+p+1); 56 for (int i=1; i<=p; ++i) 57 printf("%d ",ans[i]); 58 printf("\n"); 59 } 60 return 0; 61 }View Code
5、dfs序
關於這個的內容太多了。這裏之簡要的敘述一下好了。
dfs序就是按照dfs的順序所構成的一個序列，（從名字解釋的qwq）
dfs的性質：一棵子樹所在的位置處於一個連續區間中。
deth[x]為x的深度，L[x]為dfs序中x的起始位置，R[x]為dfs序中x子樹的結束位置
然後處理子樹上的問題成立處理區間的問題，在樹上也變成了在序列上，所以可以用線段樹或者樹狀數組維護了。
求dfs序的代碼
1 void dfs(int u,int fa) { 2 deth[u] = deth[fa]+1; 3 q[++tot] = u; 4 L[u] = tot; 5 for (int i=head[u]; i; i=e[i].nxt) { 6 int v = e[i].to; 7 if (v==fa) continue; 8 dfs(v,u); 9 } 10 R[u] = tot; 11 }View Code
總結
這是一篇入門基礎級的，沒有更多的敘述。（以後再加以補充吧）
樹的問題還有很多，這些都是關於基礎的一些問題，更多的，感興趣可以深入的研究；
謝謝觀看
關於樹的簡單整理