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基礎DP總結

關鍵詞：基礎DP問題，LIS，LCS，狀壓DP

簡析 ：DP大法好啊，當一個大問題不好解決的時候，我們研究它與其子問題的聯系，然後子問題又找它的子問題，如此下去，一直推，一直減小到可以輕而易舉求出答案（稱為邊界）。所以解決DP問題就是要推出一個正確的遞推式。

一、DP解決基礎遞推問題

　　1）斐波那契數列

　　　　dp[n] = dp[n-1] + dp[n-2]

　　　　邊界：dp[0] = 0 , dp[1] = 1 .

　　2 ）Max sum

　　　　題目鏈接 ： http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1003

　　　　dp[n]表示從1~n段的最大子串和

　　　　用sum存儲第n個數字能和前面的數字構成的最大和

　　　　可得 ： dp[n] = max( dp[n-1] , sum )

　　　　　　　　邊界：求出dp[1]

　　　　只有一個狀態，一個for循環即可，O(N).

　　3）經典DP問題：數塔

　　　　題目鏈接 ： http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2084

　　　　分析 ： 數塔就像一個滿二叉樹啊。我到底是走左邊還是走右邊能獲得最大值呢？然後每一個點都能這樣考慮，就是一個遞歸的問題了，普通的遞歸必然 　　　　時間復雜度過大，那再記憶化遞歸，求完每點的答案用一個數組存儲，那就可以了。其實這已經是DP的解法了，下面來看看標準的DP解法

　　　　dp[i][j] ： 儲存從高度為i，左邊數第j個節點走到底的數字和最大值

　　　　dp[i][j] = max( dp[i-1][j] , dp[i-1][j+1] )

　　　　邊界：求出底層 dp[0][j] 的值

　　　　代碼參考 ： 題目鏈接裏的discuss

二、LIS，LCS問題

　　僅作簡要分析

　　1）LIS（最長遞增子序列）

　　分析 ：從DP的視角來分析，假設子狀態均已求出，怎麽通過轉移得到答案呢？單單從dp[n-1]轉移得到的答案是正確的嗎？

    dp[n]=dp[n-1];
for(i = 0; i<n;i++)
   {  
        if(a[n]>a[i])
          dp[n]=max(dp[n],dp[i]+1);        
    }    
 

　　時間復雜度：O(N*N)

　　然而這個復雜度在ACM中是過不了題的，對其優化就在於對子狀態的選取，來取代遍歷。二分的辦法讓復雜度降到了O(N*logN)。

int ans[MAX_N], a[MAX_N], dp[MAX_N], n;  // ans 用來保存每個 dp 值對應的最小值，a 是原數組
int len; // LIS 最大值

ans[1] = a[1];
len = 1;

for (int i = 2; i <= n; ++i) {
    if (a[i] > ans[len]) {	//改成>=的話，下面
        ans[++len] = a[i];
    } else {
        int pos = lower_bound(ans, ans + len, a[i]) - ans;  //改成upper_bound
        ans[pos] = a[i];
    }
}

cout << len << endl;  // len 就是最終結果

　　2)LCS（最長公共子序列）

　　dp[i][j]: A串0 ~ i 與B串0 ~ j 的最長公共子序列

　　DP分析：還是當dp[i][j]之前的狀態已知，怎麽推出dp[i][j]。

　　　　　　　　 I ：dp[i][j] = max( dp[i-1][j] , dp[i][j-1] );

　　　　　　 II ： 如果字符 i 剛好和字符 j 匹配，則dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1

　　　　　　想不到還有其它的可能了。

　　題目鏈接 ： http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1159

　　題解：

#include<stdio.h>
#include<string.h>

char s1[1005], s2[1005];
int dp[1005][1005];
int max(int x,int y)
{
	if(x>y) return x;
	else return y;
} 
int main(){
    int len_s1,len_s2,i,j;
	while(~scanf("%s%s", s1, s2)){
         len_s1 = strlen(s1), len_s2 = strlen(s2);
        memset(dp, 0, sizeof(dp));   
        for( i = 0; i < len_s1; i++)
            for( j = 0; j < len_s2; j++)
                if(s1[i] == s2[j])
                    dp[i + 1][j + 1] = dp[i][j] + 1;
                else
                    dp[i + 1][j + 1] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j + 1]);
        printf("%d\n",dp[len_s1][len_s2]);
    }
}

　　註意：邊界處理（ｉ或ｊ為０，１的時候）

三、狀壓ＤＰ（二進制枚舉狀態）

稍後補。。。

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基礎DP總結