在這裏，將有我迄今為止學過的所有數論。

1、素數篩——埃拉托斯特尼篩法

時間復雜度：O(nloglogn)
方法：用每個素數篩所有它的倍數
證明：略

    for (int i=2;i<=N;i++) is[i]=1;
    for (int i=2;i<=N;i++)
    if (is[i])
        for (int j=i*i;j<=2000;j+=i)
        is[j]=0;

2、素數篩——歐拉篩法

時間復雜度：O(n)
方法&證明：埃拉托斯特尼對於每個合數篩了很多遍，而歐拉對於每個合數只被自己的最小質因數所篩去

    memset(is,1
 
,sizeof(is));
    for (int i=2;i<=100000;i++)
    {
    if (is[i]) prime[++cnt]=i;
    for (int j=1;j<=cnt && i*prime[j]<=100000;j++)
    {
        is[i*prime[j]]=0;
        if (i%prime[j]==0) break;
    }       
    }

3、歐拉函數

求[2,n)中與n互質的數的個數
//歐拉函數記做$\Phi(n)$
性質：
$\Phi(n)=\Phi(P_1^{a_1})\Phi(P_2^{a_2})\Phi(P_3^{a_3})…\Phi(P_s^{a_s})$
P為n的質因數，在n中a為其質因數的冪
定理：
(1)如果p是素數，那麽$\Phi(p)=p-1$ （逆定理成立）
(2)如果p是素數，那麽$\Phi(p^a)=p^a-p^{a-1}$
(3)設n和m互質，$\Phi(nm)=\Phi(n)\Phi(m)$
(4)p為n的質因數，a為對應指數，$\Phi(n)=n(1-1/p_1)(1-1/p_2)(1-1/p_3)…(1-1/p_s)$
推論：當n為奇數時，$\Phi(2

//求一個數的歐拉函數
ll phi(ll x)
{
    ll ans=x,c=x;
    for (int i=2;i<=c/i;i++)
    {
    if (c%i==0) ans=ans/i*(i-1);
    while(c%i==0) c/=i;
    }
    if (c>1) ans=ans/c*(c-1);
    return ans;
}
//求[1,n]的歐拉函數
void euler(ll n)
{
    ll cnt=0
 
;
    memset(is,1,sizeof(is));
    is[1]=0;
    for (ll i=2;i<=n;i++)
    {
    if (is[i]) prime[++cnt]=i,phi[i]=i-1;
    for (int j=1;j<=cnt && prime[j]*i<=n;j++)
    {
        is[prime[j]*i]=0;
        if (i%prime[j]==0)
        {
        phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
        break;
        }
        phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
    }
    }
}

4、歐拉定理&費馬小定理&乘法逆元

歐拉定理：對於任何兩個互質的正整數a和m(m>1)，有$a^{\Phi(m)}\equiv1(mod m)$
費馬小定理：當m是質數時，$a^{m-1}\equiv1(mod m)$

5、歐幾裏得算法

//求a和b的最大公因數，記做gcd(a,b)
//（最小公倍數記做lcm(a,b)，顯然lcm(a,b)=a*b/gcd(a,b)）
又名輾轉相除法
原理：gcd(a,b)=gcd(b,a%b)
（詳情請參見更相減損術）

6、擴展歐幾裏得算法

求解ax+by=gca(a,b)的x和y
顯然這是一個不定方程，所以有多組解，而ex_gcd可以得出其中一組解，然後我們可以通過轉換求出所有解
證明：

因為$ax+by=1$ $→$ $ax+by+ab-ab=1$ $→$ $a(x+b)+b(y+a)=1$
所以在求出一個可行解x之後,不斷的把x+-b仍是該方程的一個解,利用這個性質可以求類似最小解的問題

void ex_gcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
    if (!b)
    {
    x=1;
    y=0;
    return ;
    }
    ex_gcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
}

7、中國剩余定理

emm…證明太繁瑣，附上百度百科的網址把
qwq

int CRT(int a[],int m[],int n)
{
    int M=1;
    int ans=0;
    for (int i=1;i<=n;i++)
    M*=m[i];
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
    int x,y;
    int Mi=M/m[i];
    exgcd(Mi,m[i],x,y);
    ans=(ans+Mi*x*a[i])%M;
    }
    if (ans<0) ans+=M;
    return ans;
}

數論板子大總結