[轉]容斥原理與多重集合{理論}
本文轉自http://blog.csdn.net/ACdreamers/article/details/9923955
原博主:ACdreamers
首先介紹一個重要定理：
設S是有k種類型對象的多重集合，每種元素均具有無限的重復數。那麽S的r組合的個數等於：
問題一：多重集合的組合問題
問題描述：給定3個a，4個b，5個c，現在要選10個元素，求一共有多少種組合？
分析：本問題就是相當於求S={3·a,4·b,5·c}的10組合數。
首先，多重集合的組合有一個定理，定理描述如下：
設S是有k種類型對象的多重集合，每種元素均具有無限的重復數，那麽S的r組合的個數等於：
那麽既然這樣，我們令S∞={∞·a, ∞·b,∞·c}，那麽S的10-組合數為
設集合A是S∞的10-組合全體，則|A|＝66，現在要求在10-組合中的a的個數小於等於3，b的個數小於等於4，c的個數小於等
於5的組合數.
定義性質集合P={P1,P2,P3},其中：
P1：10組合中a的個數大於等於4；
P2：10組合中b的個數大於等於5；
P3：10組合中c的個數大於等於6；
將滿足性質Pi的10-組合全體記為Ai(1≤i≤3).
那麽，A1中的元素可以看作是由S∞的10－4＝6組合再拼上4個a構成的，所以
同理有：
所以根據容斥原理，原問題的解為：
問題二：方程解的個數問題
(1)問題描述：已知非負整數
分析：其實用容斥，跟上題一樣，先求出總數，因為不可能出現兩個或兩個以上的數大於等於8，所以這裏就簡單很多了。
首先，S的10-組合數為：
其結果都是
(2)問題描述：求方程
分析：對於這個問題需要先轉化一下就跟上題一樣了。
令：
問題三：集合劃分問題
問題描述：將一個n元集合劃分為r個非空子集，並給每個子集標上號1，2，3，...r，求劃分方案數。
分析：設S為將n元集劃分成有序r部分的全部劃分方案集，註意這裏每一部分可以為空，那麽我們用總數減去為空的情況就可
以了，那麽進一步有一個不為空，兩個不為空，三個不為空，...等等。這樣我們就可以容斥。
我們知道
所以最後得到方案數為：
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