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http://poj.org/problem?id=1091

題意：

給你兩個正整數n，m，讓你求長度為n+1的滿足條件的一個等式:a[1]*x1+a[2]*x2+a[3]*x3+...+a[n]*xn+a[n+1]*x(n+1)=1 (0<=a[i]<=m&&a[n+1]=m)

讓你求一共有多少種情況滿足這個條件。

要使得 a[1]*x1+a[2]*x2+a[3]*x3+...+a[n]*xn+a[n+1]*m=1 (0<=a[i]<=m)，那麽a[1],a[2],a[3]....a[n+1]的最大公約數為1.

題解：

要解決此題，你需要知道的知識有擴展歐幾裏得，鴿巢原理，以及遞歸求所有的排列組合。

許多博客都舉了這麽一個例子：

例如:n=2,m=360
360=3^2*2^3*5 所有不滿足條件的數列，最大公約數是360質因子的乘積，只要將這些組合去掉，就是要求的答案(不懂的慢慢揣摩)

那麽就要先求出m的所有質因子，然後求出總的排列組合的個數，即題目中說的M^N，最後根據鴿巢原理求得最後答案。

公式為：ans=M^N-(有奇數個公因數的n元組)+(有偶數個公因數的n元組)。拿上面的例子來說就是

ans=m^n-( 有公因數2的n元組)- (有公因數3的n元組)- (有公因數5的n元組)+ (有公因數2，3的n元組) +(有公因數2，5的n元組)+ (有公因數3，5的n元組)- (有公因數2，3，5的n元組).

有公因數d的n元組，每個位置上有 (m/d)個選擇（1 ~ m裏面有m/d個d的倍數），根據乘法原理，可以得出有公因數d的n元組有 (m/d)^n 個.

代碼：

31 ll factor[100], sz;
32 
33 void prime_factor(ll n) {
34     for (ll i = 2; i*i <= n; i++) if (n%i == 0) {
35         factor[sz++] = i;
36         while (n%i == 0) n /= i;
37     }
38     if (n > 1) factor[sz++] = n;
 
39 }
40 
41 ll mod_pow(ll x, ll n) {
42     ll res = 1;
43     while(n) {
44         if (n & 1) res *= x;
45         x *= x;
46         n >>= 1;
47     }
48     return res;
49 }
50 
51 ll n, m;
52 ll p[100], sum;
53 
54 void dfs(ll id, ll step, ll num) {
55     if (step == num) {
56         ll x = m;
57         rep(i, 0, num) x /= p[i];
58         sum += mod_pow(x, n);
59         return;
60     }
61     rep(i, id, sz) {
62         p[step] = factor[i];
63         dfs(i + 1, step + 1, num);
64     }
65 }
66 
67 int main() {
68     cin >> n >> m;
69     prime_factor(m);
70     ll ans = mod_pow(m, n);
71     rep(i, 1, sz + 1) {
72         sum = 0;
73         dfs(0, 0, i);
74         if (i & 1) ans -= sum;
75         else ans += sum;
76     }
77     cout << ans << endl;
78 }

POJ 1091 容斥原理