前言

• 樹鏈剖分是什麽？

樹鏈剖分，說白了就是一種讓你代碼不得不強行增加1k的數據結構-dms

　　個人理解：+1:joy:

• 有什麽用？

證明出題人非常毒瘤

可以非常友(bao)好(li)的解決一些樹上問題:grimacing:

（友情提示：學樹鏈剖分之前請先掌握線段樹）

核心思想

樹鏈剖分的思想比較神奇

它的思想是：把一棵樹拆成若幹個不相交的鏈，然後用一些數據結構去維護這些鏈

那麽問題來了

• 如何把樹拆成鏈？

首先明確一些定義

重兒子：該節點的子樹中,節點個數最多的子樹的根節點(也就是和該節點相連的點)，即為該節點的重兒子

重邊

重鏈：由一系列重邊相連得到的鏈

輕鏈：由一系列非重邊相連得到的鏈

這樣就不難得到拆樹的方法

對於每一個節點，找出它的重兒子，那麽這棵樹就自然而然的被拆成了許多重鏈與許多輕鏈

• 如何對這些鏈進行維護？

首先，要對這些鏈進行維護，就要確保每個鏈上的節點都是連續的，

因此我們需要對整棵樹進行重新編號，然後利用dfs序的思想，用線段樹或樹狀數組等進行維護（具體用什麽需要看題目要求，因為線段樹的功能比樹狀數組強大，所以在這裏我就不提供樹狀數組的寫法了）

註意在進行重新編號的時候先訪問重鏈

這樣可以保證重鏈內的節點編號連續

上面說的太抽象了，結合一張圖來理解一下

對於一棵最基本的樹

給他標記重兒子，

藍色為重兒子，紅色為重邊

然後對樹進行重新編號

橙色表示的是該節點重新編號後的序號

不難看出重鏈內的節點編號是連續的

然後就可以在線段樹上搞事情啦

像什麽區間加區間求和什麽的

另外有一個性質：以$i$為根的子樹的樹在線段樹上的編號為$[i,i+子樹節點數-1]$

接下來結合一道例題，加深一下對於代碼的理解

代碼

題目鏈接

樹鏈剖分的裸題

首先來一坨定義

int deep[MAXN];//節點的深度 
int fa[MAXN];//節點的父親 
int son[MAXN];//節點的重兒子 
 

int tot[MAXN];//節點子樹的大小 

第一步

按照我們上面說的，我們首先要對整棵樹dfs一遍，找出每個節點的重兒子

順便處理出每個節點的深度，以及他們的父親節點

int dfs1(int now,int f,int dep)
{
    deep[now]=dep;
    fa[now]=f;
    tot[now]=1;
    int maxson=-1;
    for(int i=head[now];i!=-1;i=edge[i].nxt)
    {
        if(edge[i].v==f) continue;
        tot[now]+=dfs1(edge[i].v,now,dep+1);
        if(tot[edge[i].v]>maxson) maxson=tot[edge[i].v],son[now]=edge[i].v;
    }
    return tot[now];
}

第二步

然後我們需要對整棵樹進行重新編號

我把一開始的每個節點的權值存在了$b$數組內

void dfs2(int now,int topf)
{
    idx[now]=++cnt;
    a[cnt]=b[now];
    top[now]=topf;
    if(!son[now]) return ;
    dfs2(son[now],topf);
    for(int i=head[now];i!=-1;i=edge[i].nxt)
        if(!idx[edge[i].v])
            dfs2(edge[i].v,edge[i].v);
}

$idx$表示重新編號後該節點的編號是多少

另外，這裏引入了一個$top$數組，

$top[i]$表示$i$號節點所在重鏈的頭節點(最頂上的節點)

至於這個數組有啥用，後面再說

第三步

我們需要根據重新編完號的樹，把這棵樹的上每個點映射到線段樹上，

struct Tree
{
    int l,r,w,siz,f;
}T[MAXN];

void Build(int k,int ll,int rr)
{
    T[k].l=ll;T[k].r=rr;T[k].siz=rr-ll+1;
    if(ll==rr)
    {
        T[k].w=a[ll];
        return ;
    }
    int mid=(ll+rr)>>1;
    Build(ls,ll,mid);
    Build(rs,mid+1,rr);
    update(k);
}

另外線段樹的基本操作，

這裏就不詳細解釋了

直接放代碼

void update(int k)//更新
{
    T[k].w=(T[ls].w+T[rs].w+MOD)%MOD;
}

void IntervalAdd(int k,int ll,int rr,int val)//區間加
{
    if(ll<=T[k].l&&T[k].r<=rr)
    {
        T[k].w+=T[k].siz*val;
        T[k].f+=val;
        return ;
    }
    pushdown(k);
    int mid=(T[k].l+T[k].r)>>1;
    if(ll<=mid)    IntervalAdd(ls,ll,rr,val);
    if(rr>mid)    IntervalAdd(rs,ll,rr,val);
    update(k);
}

int IntervalSum(int k,int ll,int rr)//區間求和
{
    int ans=0;
    if(ll<=T[k].l&&T[k].r<=rr)
        return T[k].w;
    pushdown(k);
    int mid=(T[k].l+T[k].r)>>1;
    if(ll<=mid) ans=(ans+IntervalSum(ls,ll,rr))%MOD;
    if(rr>mid)  ans=(ans+IntervalSum(rs,ll,rr))%MOD;
    return ans;
}

void pushdown(int k)//下傳標記
{
    if(!T[k].f) return ;
    T[ls].w=(T[ls].w+T[ls].siz*T[k].f)%MOD;
    T[rs].w=(T[rs].w+T[rs].siz*T[k].f)%MOD;
    T[ls].f=(T[ls].f+T[k].f)%MOD;
    T[rs].f=(T[rs].f+T[k].f)%MOD;
    T[k].f=0;
}

第四步

我們考慮如何實現對於樹上的操作

樹鏈剖分的思想是:對於兩個不在同一重鏈內的節點,讓他們不斷地跳,使得他們處於同一重鏈上

那麽如何"跳”呢？

還記得我們在第二次$dfs$中記錄的$top$數組麽？

有一個顯然的結論：$x$到$top[x]$中的節點在線段樹上是連續的，

結合$deep$數組

假設兩個節點為$x$,$y$

我們每次讓$deep[top[x]]$與$deep[top[y]]$中大的(在下面的)往上跳(有點類似於樹上倍增)

讓x節點直接跳到$top[x]$,然後在線段樹上更新

最後兩個節點一定是處於同一條重鏈的，前面我們提到過重鏈上的節點都是連續的，直接在線段樹上進行一次查詢就好

void TreeSum(int x,int y)//x與y路徑上的和
{
    int ans=0;
    while(top[x]!=top[y])
    {
        if(deep[top[x]]<deep[top[y]]) swap(x,y);
        ans=(ans+IntervalSum(1,idx[ top[x] ],idx[x]))%MOD;
        x=fa[ top[x] ];
    }
    if(deep[x]>deep[y]) swap(x,y);
    ans=(ans+IntervalSum(1,idx[x],idx[y]))%MOD;
    printf("%d\n",ans);
}

void TreeAdd(int x,int y,int val)//對於x,y路徑上的點加val的權值
{
    while(top[x]!=top[y])
    {
        if(deep[top[x]]<deep[top[y]]) swap(x,y);
        IntervalAdd(1,idx[ top[x] ],idx[x],val);
        x=fa[ top[x] ];
    }
    if(deep[x]>deep[y])    swap(x,y);
    IntervalAdd(1,idx[x],idx[y],val);
}

在樹上查詢的這一步可能有些抽象，我們結合一個例子來理解一下

還是上面那張圖，假設我們要查詢$3.6$這兩個節點的之間的點權合，為了方便理解我們假設每個點的點權都是$1$

剛開始時

$top[3]=2,top[6]=1$

$deep[top[3]]=2,deep[top[6]]=1$

我們會讓$3$向上跳,跳到$top[3]$的爸爸,也就是$1$號節點

這是$1$號節點和$6$號節點已經在同一條重鏈內,所以直接對線段樹進行一次查詢即可

對於子樹的操作

這個就更簡單了

因為一棵樹的子樹在線段樹上是連續的

所以修改的時候直接這樣

IntervalAdd(1,idx[x],idx[x]+tot[x]-1,z%MOD);

時間復雜度

(剛開始忘記寫了,這一塊是後來補上的)

性質1

如果邊$\left( u,v\right)$,為輕邊,那麽$Size\left( v\right) \leq Size\left( u\right) /2$。

證明：顯然:joy:，否則該邊會成為重邊

性質2

樹中任意兩個節點之間的路徑中輕邊的條數不會超過$\log _{2}n$,重路徑的數目不會超過$\log _{2}n$

證明：不會:stuck_out_tongue_winking_eye:

有了上面兩條性質，我們就可以來分析時間復雜度了

由於重路徑的數量的上界為$\log _{2}n$，

線段樹中查詢/修改的復雜度為$\log _{2}n$

那麽總的復雜度就是$\left( \log _{2}n\right) ^{2}$

例題

洛谷P3379 【模板】最近公共祖先（LCA）

樹剖可以求LCA，沒想到吧

http://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/8097366.html

洛谷P2590 [ZJOI2008]樹的統計

http://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/7157156.html

這份代碼是以前寫的，可能比較醜，下面兩份是剛剛寫的

洛谷P3178 [HAOI2015]樹上操作

http://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/8094286.html

洛谷P3038 [USACO11DEC]牧草種植Grass Planting

有點意思

http://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/8094429.html

樹鏈剖分詳解