習題三 11-15
11.設函數\(f(x)\)在\((a,+\infty)\)上單調上升,\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=+\infty\).證明:若\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}f(x_n)=A\),則\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f(x)=A\).
證明 \(\forall M>0,\exists N_0>0,\)當\(n>N_0,x_n>M\),
\(\forall\varepsilon>0,\exists N_1>0,\)當\(n>N_1,|f(x_n)-A|<\varepsilon\)
取\(M=x_{N_1+1},\)當\(x>x_{N_0+1}>M=x_{N_1+1}\),再取\(M‘=x,N=\max\{N‘_0,N_1+2\}\),
有\(x_{N_1+1}<x<x_{N},f(x_{N_1+1})\leqslant f(x)\leqslant f(x_{N}),\)
則\(|f(x)-A|\leqslant\max\{|f(x_{N_1+1})-A|,|f(x_{N})-A|\}<\varepsilon\)
故\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f(x)=A\).
12.設函數\(f(x)\)在\((a,+\infty)\)
證明 反證.
假設結論不成立,\(\exists M>0,\forall N>0,\exists n>N,x_n<M,f(x_n)>f(M)\),
則\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}f(x_n)\geqslant f(M)>\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f(x)\)
13.設函數\(f(x)\)是\((-\infty,+\infty)\)上定義的周期函數,而且\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f(x)=0\),證明\(f(x)\equiv0\).
證明 反證.
假設結論不成立,記周期為\(T,\exists x_0,f(x_0)=A\not=0\),
則\(\forall N>0,\exists x_1=x_0+kT>N(k\in\mathbb{N}),|f(x_1)|>|\frac{A}{2}|\),矛盾.
14.設函數\(f(x)\)定義在\((0,+\infty)\)上,且滿足:\(f(x)=f(2x),\forall x\in(0,+\infty)\),以及\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f(x)=l\).證明\(f(x)\equiv l\).
證明 反證.
假設結論不成立,\(\exists x_0>0,f(x_0)=A\not=l\),
則\(\forall N>0,\exists x_1=2^kx_0>N(k\in\mathbb{N}),|f(x_1)-l|>|\frac{A-l}{2}|\),矛盾.
15.設\(\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{f(x)}{x}\)存在,又有常數\(\alpha\not=1\)使\(\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{f(x)-f(\alpha x)}{x}=0\).證明\(\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{f(x)}{x}=0\).
證明若\(\alpha=0\),結論立即成立.
若\(\alpha\not=0,\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{f(x)-f(\alpha x)}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{f(x)}{x}-\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{f(\alpha x)}{x}=(1-\alpha)\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{f(x)}{x}=0\),
即\(\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{f(x)}{x}=0\).
習題三 11-15