①最小路徑覆蓋：

給定有向圖G=(V,E)。設P 是G 的一個簡單路（頂點不相交）的集合。如果V 中每個頂點恰好在P 的一條路上，則稱P是G 的一個路徑覆蓋。P 中路徑可以從V 的任何一個頂點開始，長度也是任意的，特別地，可以為0。G 的最小路徑覆蓋是G 的所含路徑條數最少的路徑覆蓋。

路徑覆蓋和二分圖匹配的關系：最小路徑覆蓋=|G|-最大匹配數

上述公式中最大匹配數是這樣來的：

對於G中每一個節點x，建立節點x1，x2。若x- >y存在邊，則x1與y2之間連一條無向邊，求這個二分圖的最大匹配數即可。

證明如下：

首先，若最大匹配數為0，則二分圖中無邊，也就是說有向圖G中不存在邊，那麽

顯然：最小路徑覆蓋=|G|-最大匹配數=|G|-0=|G|。

若此時增加一條匹配邊x1--y2，則在有向圖|G|中，x、y在同一條路徑上，最小路徑覆蓋數減少一個。

繼續增加匹配邊，每增加一條，最小路徑覆蓋數減少一個，則公式：最小路徑覆蓋=|G|-最大匹配數得證。

②最小點覆蓋

二分圖中，選取最少的點數，使這些點和所有的邊都有關聯（把所有的邊的覆蓋），叫做最小點覆蓋。

最小點覆蓋數 = 最大匹配數

證明：轉載自：Matrix67

二分圖最大匹配的König定理及其證明　

如果你看不清楚第二個字母，下面有一個大號字體版本：

二分圖最大匹配的König定理及其證明

本文將是這一系列裏最短的一篇，因為我只打算把König定理證了，其它的廢話一概沒有。
以下五個問題我可能會在以後的文章裏說，如果你現在很想知道的話，網上去找找答案：
1. 什麽是二分圖；
2. 什麽是二分圖的匹配；
3. 什麽是匈牙利算法；(http://www.matrix67.com/blog/article.asp?id=41)
4. König定理證到了有什麽用；
5. 為什麽o上面有兩個點。

König定理是一個二分圖中很重要的定理，它的意思是，一個二分圖中的最大匹配數等於這個圖中的最小點覆蓋數。如果你還不知道什麽是最小點覆蓋，我也在這裏說一下：假如選了一個點就相當於覆蓋了以它為端點的所有邊，你需要選擇最少的點來覆蓋所有的邊。比如，下面這個圖中的最大匹配和最小點覆蓋已分別用藍色和紅色標註。它們都等於3。這個定理相信大多數人都知道，但是網絡上給出的證明並不多見。有一些網上常見的“證明”明顯是錯誤的。因此，我在這裏寫一下這個定理的證明，希望對大家有所幫助。

假如我們已經通過匈牙利算法求出了最大匹配（假設它等於M），下面給出的方法可以告訴我們，選哪M個點可以覆蓋所有的邊。
匈牙利算法需要我們從右邊的某個沒有匹配的點，走出一條使得“一條沒被匹配、一條已經匹配過，再下一條又沒匹配這樣交替地出現”的路（交錯軌，增廣路）。但是，現在我們已經找到了最大匹配，已經不存在這樣的路了。換句話說，我們能尋找到很多可能的增廣路，但最後都以找不到“終點是還沒有匹配過的點”而失敗。我們給所有這樣的點打上記號：從右邊的所有沒有匹配過的點出發，按照增廣路的“交替出現”的要求可以走到的所有點（最後走出的路徑是很多條不完整的增廣路）。那麽這些點組成了最小覆蓋點集：右邊所有沒有打上記號的點，加上左邊已經有記號的點。看圖，右圖中展示了兩條這樣的路徑，標記了一共6個點（用 “√”表示）。那麽，用紅色圈起來的三個點就是我們的最小覆蓋點集。
首先，為什麽這樣得到的點集點的個數恰好有M個呢？答案很簡單，因為每個點都是某個匹配邊的其中一個端點。如果右邊的哪個點是沒有匹配過的，那麽它早就當成起點被標記了；如果左邊的哪個點是沒有匹配過的，那就走不到它那裏去（否則就找到了一條完整的增廣路）。而一個匹配邊又不可能左端點是標記了的，同時右端點是沒標記的（不然的話右邊的點就可以經過這條邊到達了）。因此，最後我們圈起來的點與匹配邊一一對應。
其次，為什麽這樣得到的點集可以覆蓋所有的邊呢？答案同樣簡單。不可能存在某一條邊，它的左端點是沒有標記的，而右端點是有標記的。原因如下：如果這條邊不屬於我們的匹配邊，那麽左端點就可以通過這條邊到達（從而得到標記）；如果這條邊屬於我們的匹配邊，那麽右端點不可能是一條路徑的起點，於是它的標記只能是從這條邊的左端點過來的（想想匹配的定義），左端點就應該有標記。
最後，為什麽這是最小的點覆蓋集呢？這當然是最小的，不可能有比M還小的點覆蓋集了，因為要覆蓋這M條匹配邊至少就需要M個點（再次回到匹配的定義）。

③最大獨立集=總數-最小覆蓋集證明：

（摘自：http://m.blog.csdn.NET/article/details?id=50011363）

　　上圖，我們用兩個紅色的點覆蓋了所有邊。我們證明的前提條件是已經達到最小覆蓋。

即條件1.已經覆蓋所有邊，條件2.所用的點數最小

　　首先我們來證明藍色點組成的是一個獨立集：如果有兩個藍色點間有邊相連，那麽這條

邊則沒有被覆蓋，則與條件1矛盾。因此是獨立集。

　　再來證明這個獨立集最大： 如果我們要再增加這個獨立集中的點，則需要把某個紅點變

成藍點。而由最小覆蓋數=最大匹配數的證明我們知道，每一個紅點是最大匹配中的一

個匹配點，也就是說每個紅點至少連接了一條邊。因此當我們將某個紅點變成藍點

時，我們需要犧牲的藍點的個數是大於等於1的。也就是說，我們最多只能找到數量相等

的其他獨立集，而無法找到數量更大的。因此藍色點集必定為最大獨立集。 藍色點數 =

總點數 - 紅色點數，即最大獨立集=總數-最小覆蓋集。

由上述定理，同理可知：

最大獨立集+最小點權覆蓋=總權值。

又∵最小點權覆蓋=最小割

∴最大獨立集=最小割。

二分圖最大匹配的一些證明