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在二維平面上的n個點中，如何快速的找出最近的一對點，就是最近點對問題。

一種簡單的想法是暴力枚舉每兩個點，記錄最小距離，顯然，時間復雜度為O(n^2)。

在這裏介紹一種時間復雜度為O(nlognlogn)的算法。其實，這裏用到了分治的思想。將所給平面上n個點的集合S分成兩個子集S1和S2，每個子集中約有n/2個點。然後在每個子集中遞歸地求最接近的點對。在這裏，一個關鍵的問題是如何實現分治法中的合並步驟，即由S1和S2的最接近點對，如何求得原集合S中的最接近點對。如果這兩個點分別在S1和S2中，問題就變得復雜了。

為了使問題變得簡單，首先考慮一維的情形。此時，S中的n個點退化為x軸上的n個實數x1，x2，...，xn。最接近點對即為這n個實數中相差最小的兩個實數。顯然可以先將點排好序，然後線性掃描就可以了。但我們為了便於推廣到二維的情形，嘗試用分治法解決這個問題。

假設我們用m點將S分為S1和S2兩個集合，這樣一來，對於所有的p(S1中的點)和q(S2中的點)，有p<q。

遞歸地在S1和S2上找出其最接近點對{p1,p2}和{q1,q2}，並設

d = min{ |p1-p2| , |q1-q2| }

由此易知，S中最接近點對或者是{p1,p2}，或者是{q1,q2}，或者是某個{q3,p3}，如下圖所示。

如果最接近點對是{q3,p3}，即|p3-q3|<d，則p3和q3兩者與m的距離都不超過d，且在區間(m-d,d]和(d,m+d]各有且僅有一個點。這樣，就可以在線性時間內實現合並。

此時，一維情形下的最近點對時間復雜度為O(nlogn)。

在二維情形下，類似的，利用分治法，但是難點在於如何實現線性的合並？

由上圖可見，形成的寬為2d的帶狀區間，最多可能有n個點，合並時間最壞情況下為n^2,。但是，P1和P2中的點具有以下稀疏的性質，對於P1中的任意一點，P2中的點必定落在一個d X 2d的矩形中，且最多只需檢查六個點（鴿巢原理）。

這樣，先將帶狀區間的點按y坐標排序，然後線性掃描，這樣合並的時間復雜度為O(nlogn)，幾乎為線性了。

光說不練也不行，經過自己的思考和參考網上的程序，完成了最近點對的程序，並在各OJ上成功AC了。

POJ3714 ZOJ2107 HDU1007

 1 /**
 2 最近點對問題，時間復雜度為O(n*logn*logn)
 3 */
 4 #include <iostream>
 5 #include <cstdio>
 6 #include <cstring>
 7 #include <cmath>
 8 #include <algorithm>
 9 using namespace std;
10 const double INF = 1e20;
11 const int N = 100005;
12 
13 struct Point
14 {
15     double x;
16     double y;
17 }point[N];
18 int n;
19 int tmpt[N];
20 
21 bool cmpxy(const Point& a, const Point& b)
22 {
23     if(a.x != b.x)
24         return a.x < b.x;
25     return a.y < b.y;
26 }
27 
28 bool cmpy(const int& a, const int& b)
29 {
30     return point[a].y < point[b].y;
31 }
32 
33 double min(double a, double b)
34 {
35     return a < b ? a : b;
36 }
37 
38 double dis(int i, int j)
39 {
40     return sqrt((point[i].x-point[j].x)*(point[i].x-point[j].x)
41                 + (point[i].y-point[j].y)*(point[i].y-point[j].y));
42 }
43 
44 double Closest_Pair(int left, int right)
45 {
46     double d = INF;
47     if(left==right)
48         return d;
49     if(left + 1 == right)
50         return dis(left, right);
51     int mid = (left+right)>>1;
52     double d1 = Closest_Pair(left,mid);
53     double d2 = Closest_Pair(mid+1,right);
54     d = min(d1,d2);
55     int i,j,k=0;
56     //分離出寬度為d的區間
57     for(i = left; i <= right; i++)
58     {
59         if(fabs(point[mid].x-point[i].x) <= d)
60             tmpt[k++] = i;
61     }
62     sort(tmpt,tmpt+k,cmpy);
63     //線性掃描
64     for(i = 0; i < k; i++)
65     {
66         for(j = i+1; j < k && point[tmpt[j]].y-point[tmpt[i]].y<d; j++)
67         {
68             double d3 = dis(tmpt[i],tmpt[j]);
69             if(d > d3)
70                 d = d3;
71         }
72     }
73     return d;
74 }
75 
76 
77 int main()
78 {
79     while(true)
80     {
81         scanf("%d",&n);
82         if(n==0)
83             break;
84         for(int i = 0; i < n; i++)
85             scanf("%lf %lf",&point[i].x,&point[i].y);
86         sort(point,point+n,cmpxy);
87         printf("%.2lf\n",Closest_Pair(0,n-1)/2);
88     }
89     return 0;
90 }

平面最近點問題