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吐槽

fft除了模板以外的第一題！！高興ovo

題目好長啊。。

好吧中途腦子秀逗了一直在想怎麽用fft求卷積。。。服了我自己了qwq

正題

首先看到說回文字符串，那就。。。馬拉車？但是馬拉車只能求連續的回文串呀。。

於是我們就想能不能先求出沒有任何限制的回文串的數量（記為\(ans1\)）然後再用馬拉車求出連續的回文串的數量（記為\(ans2\)），那麽最終的\(ans = ans1 - ans2\)

現在問題就變成了怎麽求沒有任何限制的回文串的數量了

我們用\(f_i\)表示以\(i\)

然後這題有個很妙的限制：一個字符串中只有兩種字符\(a\)或者\(b\)

那麽我們可以分別考慮\(a\)和\(b\)的貢獻，然後相加得到總的貢獻（也就是那坨sigma）

我們先考慮怎麽算\(a\)的貢獻（\(b\)的話其實一樣的所以就只討論一種情況了）

用一個數組\(A\)來記錄字符串每一位的\(a\)的貢獻

對於字符串的第\(i\)位，如果說是\(a\)，我們將\(A_i\)賦為\(1\)，否則為\(0\)

那麽第\(i\)位和第\(j\)位這對字符串的貢獻就為\(A_i * A_j\)

所以，我們如果把\(A\)看做一個多項式的系數矩陣，\(A * A\)算出來的就是\(a\)的貢獻

多項式乘法，那顯然用FFT就好了ovo

接著用同樣的方式算出\(b\)的貢獻，再和\(a\)的貢獻相加，得到上面式子中的sigma，然後再算\(f\)就好啦

然後這題就很愉快地做完啦ovo

（不得不說用多項式乘法求貢獻那步很妙啊ovo）

#include<iostream>
 

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define MOD 1000000007
#define ll long long
using namespace std;
const double pi=acos(-1);
const int MAXN=4*(1e5)+10;
struct cmplx
{
    double a,b;
    cmplx(){}
    cmplx(double x,double y){a=x,b=y;}
    friend cmplx operator + (cmplx x,cmplx y)
    {return cmplx(x.a+y.a,x.b+y.b);}
    friend cmplx operator - (cmplx x,cmplx y)
    {return cmplx(x.a-y.a,x.b-y.b);}
    friend cmplx operator * (cmplx x,cmplx y)
    {return cmplx(x.a*y.a-x.b*y.b,x.a*y.b+x.b*y.a);}
}a[MAXN],b[MAXN];
char s[MAXN],s1[MAXN];
int f[MAXN],mx[MAXN],two[MAXN];
int rev[MAXN];
int n,m,tot,k;//k=mx
ll ans;
int fft(cmplx *a,int op);
int manacher(char *s1,int lens);

int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("a.in","r",stdin);
    freopen("a.out","w",stdout);
#endif
    scanf("%s",s);
    int len=strlen(s);
    for (int i=0;i<len;++i){
        if (s[i]=='a') a[i]=cmplx(1,0);
        else a[i]=cmplx(0,0);
    }
    k=1; two[0]=1;
    for (int i=1;i<=2*len;++i)
        two[i]=two[i-1]*2%MOD;
    while (k<2*len) k<<=1;
    fft(a,1);
    for (int i=0;i<k;++i) b[i]=a[i]*a[i];

    memset(a,0,sizeof(a));
    for (int i=0;i<len;++i){
        if (s[i]=='b') a[i]=cmplx(1,0);
        else a[i]=cmplx(0,0);
    }
    fft(a,1);
    for (int i=0;i<k;++i) b[i]=b[i]+a[i]*a[i];
    fft(b,-1);
    ans=0;
    for (int i=2;i<=2*len;++i){
        f[i]+=(ll)(b[i-2].a/k+0.5);
        f[i]=f[i]+1>>1;
    }
    for (int i=2;i<=2*len;++i) ans=(ans+two[f[i]]-1)%MOD;
    printf("%lld\n",(ans+MOD-manacher(s,len))%MOD);
}

int fft(cmplx *a,int op)
{
    int step,bit=0;
    cmplx w_n,w,t,u;
    for (int i=1;i<k;i<<=1,++bit);
    rev[0]=0;
    for (int i=0;i<k;++i) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(bit-1));
    for (int i=0;i<k;++i) 
        if (i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);
    for (int step=2;step<=k;step<<=1)
    {
        w_n=cmplx(cos(2*pi/step),op*sin(2*pi/step));
        for (int st=0;st<k;st+=step)
        {
            w=cmplx(1,0);
            for (int i=0;i<(step>>1);++i)
            {
                t=a[st+i+(step>>1)]*w;
                u=a[st+i];
                a[st+i]=u+t;
                a[st+i+(step>>1)]=u-t;
                w=w*w_n;
            }
        }
    }
}

int manacher(char *s,int lens){
    int k,p=0,ret=0,len=1;
    s1[0]='$'; s1[1]='#';
    for (int i=0;i<lens;++i)
        s1[++len]=s[i],s1[++len]='#';
    memset(mx,0,sizeof(mx));
    for (int i=2;i<len;++i){
        if (p>i)
            mx[i]=min(mx[k*2-i],p-i);
        else
            mx[i]=1;
        while (s1[i+mx[i]]==s1[i-mx[i]]) ++mx[i];
        if (i+mx[i]>p) p=i+mx[i],k=i;
        ret=(ret+mx[i]/2)%MOD;
    }
    return ret;
}

【bzoj3160】萬徑人蹤滅