題目描述

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題目大意：在一個只含ab的字串中選取一個子序列，使得：1、字元和下標都關於一箇中心對稱2、不能是連續的一段。求方案數。

題解

這題我的方法好蠢啊→_→
首先容斥一下，答案=所有子序列的方案數-迴文子串的數量
由於迴文的連續子序列一定滿足下標對稱，所以可以直接用manacher求出迴文子串的數量
然後就是統計所有子序列的方案數的問題了
將a和b分開考慮，f(i)和g(i)表示當前這一位是否是當前這個字元，非1即0。然後還是像manacher一樣在兩個字串中插入分割符的話，對於一個迴文中心i，令F(2i)表示迴文中心為i的最長迴文子序列長度，那麼F(2i)=∑jf(

但是這個方法確實蠢極了！！實際上，滿足迴文的子序列一定滿足對應的元素下標之和為一個定值，無論長度為奇數還是偶數！所以直接一個最簡單的式子F(i)=∑jf(i−j)g(j)就可以解決了。。這裡的F(i)的含義應該是對應元素下標之和為i的迴文子序列最長長度

程式碼

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
 

#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
#define N 1000005
#define Mod 1000000007

const double pi=acos(-1.0);
int lss,ls,p[N],mi[N],F[N],n,m,L,R[N],ans;
char s[N],ss[N];
struct complex
{
    double x,y;
    complex(double X=0,double Y=0)
    {
        x=X,y=Y;
    }
}a[N],b[N];
complex operator
 
 + (complex a,complex b) {return complex(a.x+b.x,a.y+b.y);}
complex operator - (complex a,complex b) {return complex(a.x-b.x,a.y-b.y);}
complex operator * (complex a,complex b) {return complex(a.x*b.x-a.y*b.y,a.x*b.y+a.y*b.x);}

int manacher()
{
    int id=0,mx=0;
    for (int i=1;i<ls;++i)
    {
        if (mx>i) p[i]=min(p[2*id-i],mx-i);
        else p[i]=1;
        while (s[i-p[i]]==s[i+p[i]]) ++p[i];
        if (i+p[i]>mx)
        {
            mx=i+p[i];
            id=i;
        }
    }
    int ans=0;
    for (int i=1;i<=ls;++i)
    {
        if (p[i]==1) continue;
        ans+=(p[i]-2)/2+1;
        ans%=Mod;
    }
    return ans;
}
void FFT(complex a[N],int opt)
{
    for (int i=0;i<n;++i)
        if (i<R[i]) swap(a[i],a[R[i]]);
    for (int k=1;k<n;k<<=1)
    {
        complex wn=complex(cos(pi/k),opt*sin(pi/k));
        for (int i=0;i<n;i+=(k<<1))
        {
            complex w=complex(1,0);
            for (int j=0;j<k;++j,w=w*wn)
            {
                complex x=a[i+j],y=w*a[i+j+k];
                a[i+j]=x+y,a[i+j+k]=x-y;
            }
        }
    }
}
void calc()
{
    FFT(a,1);FFT(b,1);
    for (int i=0;i<=n;++i) a[i]=a[i]*b[i];
    FFT(a,-1);
    for (int i=0;i<=n;++i)
        F[i]+=(int)(a[i].x/n+0.5);
}
int main()
{
    scanf("%s",ss);lss=strlen(ss);s[ls++]='*';
    for (int i=0;i<lss;++i) s[ls++]='#',s[ls++]=ss[i];
    s[ls++]='#';
    ans-=manacher();

    m=ls+ls-2;
    for (n=1;n<=m;n<<=1) ++L;
    for (int i=0;i<n;++i)
        R[i]=(R[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L-1));

    for (int i=0;i<=n;++i) a[i]=complex(0,0),b[i]=complex(0,0);
    for (int i=0;i<ls;++i) a[i].x=b[i].x=(s[i]=='a')?1:0;
    calc();

    for (int i=0;i<=n;++i) a[i]=complex(0,0),b[i]=complex(0,0);
    for (int i=0;i<ls;++i) a[i].x=b[i].x=(s[i]=='b')?1:0;
    calc();

    mi[0]=1;for (int i=1;i<=ls;++i) mi[i]=(mi[i-1]<<1)%Mod;
    for (int i=0;i<ls;++i)
    {
        int cnt=F[i<<1];
        if (!cnt) continue;
        ans+=mi[(cnt-1)/2+1]-1;ans%=Mod;
    }
    ans=(ans+Mod)%Mod;
    printf("%d\n",ans);
}