省選模擬題

周子凱

題目概況

1. 簡易比特幣

題目描述

相信大家都聽說過比特幣。它是一種虛擬貨幣，但與普通虛擬貨幣不同的是，它不由某個機構統一發行，而需要利用計算機找出具有特定性質的數據來“發現”貨幣，俗稱“挖礦”。然而，由於具有這種特定性質的數據分布稀疏而無規律，因此挖礦的過程需要投入大量的計算資源來搜尋這些數據。

仿照比特幣是設計思想，我們可以設計一種簡易的比特幣：給定一個由n個非負整數構成的序列{a_i}，和一個閾值K，如果某個非空子序列（一個連續的區間）中的所有數的異或和小於K，則這個子序列就對應了一個比特幣，否則它毫無價值。

現在，給出這個序列和閾值，請你計算從中能獲得多少個比特幣。

嚴謹起見，簡要解釋一下什麽是異或：

異或是一種位運算，Pascal中寫作xor，C/C++中寫作^。將兩個數寫成二進制形式，然後對每位作“相同得0、不同得1”的運算。例如，12 xor 6 = 10的運算方法如下：

12 = (1100)₂

6 = (0110)₂

ans= (1010)₂ = 10

輸入格式

第一行包含兩個整數n和K，意義如題所述；

第二行包含n個非負整數a_i，表示序列中的每一個數。

輸出格式

一行包含一個整數，表示能從序列中獲得的比特幣數。

樣例輸入

3 2

1 3 2

樣例輸出

3

樣例解釋

1 = 1

1 xor 3 = 2

1 xor 3 xor 2 = 0

3 = 3

3 xor 2 = 1

2 = 2

一共3個區間的異或和小於2。

數據範圍

對於20%的數據，n≤100；

對於40%的數據，n≤1000；

另有20%的數據，a_i≤50；

對於100%的數據，1≤n≤10⁵，0≤K≤10⁹，0≤a_i≤10⁹。

2.計算

問題描述

我曾經的競賽教練有一句名言：“人緊張起來的時候會變得和白癡一樣的。”他總愛在比賽前重復這句話。其實論算法，他並沒有教給我們多少，但是回想起以前的經歷發現，至少這句話他說的真是太tm對了。用現在的話講就是：不要慫，就是幹。

oi題很多時候都是這樣，乍一看很難，越看越覺得不可做，於是安慰自己說，肯定又是我沒學過的某算法，做不出很正常。但抱有這種心理的，出了考場往往會被身邊的神犇打臉：“這題其實先oo一下再xx一下就好了，我太弱了搞了一小時才搞出來……”

現在就有一道看上去似乎很不好搞的計算題，請你不慫地算一下怎麽搞。

給出一個長為N的正整數序列，有三種操作：

A l r k b：在區間[l,r]上加上一個首項為b、公差為k的等差數列。即，序列a_l, a_l+1, a_l+2, a_l+3……變成a_l+b, a_l+1+b+k, a_l+2+b+2k, a_l+3+b+3k……

B l r：求區間[l,r]內所有數的和mod 1000000007的值

C l r：求區間[l,r]內所有數的平方的和mod 1000000007的值

輸入格式

第一行包含兩個數n、q，表示序列長度和操作的數量；

第二行包含n個數{a_i}，表示原序列；

接下來q行，每行包含一個操作，格式和意義如題面所述。

輸出格式

輸出若幹行，每個B操作和C操作輸出一行，表示詢問的答案。

樣例輸入

3 3

1 1 1

A 1 3 2 2

B 1 2

C 2 3

樣例輸出

8

74

數據規模

測試點1~2：n, q ≤ 1000；

測試點3~4：k=0，沒有C操作；

測試點5~6：k=0；

測試點7~8：沒有C操作；

對於100%的數據，n, q ≤ 100000，0 ≤ a_i, k, b ≤ 10⁹，1 ≤ l ≤ r ≤ n

3. 路徑

問題描述

實在不知道怎麽編題面了，就寫得直白一點吧。反正沒幾個人寫得完三題，估計都看不到這裏。

給出一個仙人掌圖，求圖中最長路的長度。

Emmm……還是稍微具體一點吧。

仙人掌圖是指一個有N個點與M條邊的無向圖，點從1到N標號，每條邊有各自的長度，圖中可能存在若幹個簡單環，但是，每個點最多只會屬於1個簡單環路。簡單環是指一個經過至少兩個點、且不經過重復點的環。（這裏仙人掌圖的定義也許和你在別處見過的不太一樣，請仔細審題）

例如，圖1所示的是一個仙人掌圖，但圖2則不是，因為3號點同屬於兩個簡單環。

給出一個仙人掌圖，你需要求出圖中的最長路的長度。最長路不能經過重復的點。例如，假設圖中所有邊長度都為1的話，圖1中的仙人掌圖的一條最長路為1-2-3-4-5-6，長度為5。

輸入格式

第一行包含1個整數Q，表示數據組數；

每組數據的第一行2個整數N,M，表示仙人掌圖的點數和邊數；

每組數據的接下來M行，每行3個正整數x,y,z，描述一條連接點x與點y，長度為z的邊。

輸出格式

對於每組數據輸出一行，每行包含一個整數，表示最長路徑的長度。

樣例輸入

2

6 7

1 2 1

2 3 1

3 1 1

3 4 1

4 5 1

5 6 1

6 4 1

4 4

1 2 1

2 3 2

3 4 3

4 1 4

樣例輸出

5

9

數據規模

對於10%的數據，Q ≤ 5，n ≤ 10；

另有20%的數據，滿足n=m+1；

另有20%的數據，滿足n=m；

另有20%的數據，滿足每個環上的點數≤ 20；

對於100%的數據，Q ≤ 1000, 所有測試點的n之和 ≤ 100,000，z≤ 1000。

(T3圖片可能被河蟹，沒有就算了hhh)

今天T1就是Trie樹上異或亂搞，T2玄學線段樹標記應用(區間加等差數列，區間查詢元素和和元素平方和)。

T3還沒講，，，(我明明寫的50分暴力分啊，，，怎麽多騙了20分hhh)

先粘一下我的代碼

T1:

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define maxn 100005
using namespace std;
int n,k,ch[maxn*35][2],siz[maxn*35];
int tot=0,val,now,ci[35],root=0;
ll ans=0;

inline int read(){
    int x=0;char c=getchar();
    for(;!isdigit(c);c=getchar());
    for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-‘0‘;
    return x;
}

inline void ins(){
    int pos=root,r;
    siz[0]++;
    
    for(int i=30;i>=0;i--){
        r=(ci[i]&now)?1:0;
        if(!ch[pos][r]) ch[pos][r]=++tot;
        pos=ch[pos][r],siz[pos]++;
    }
}

inline int query(){
    int pos=root,an=0,r;
    for(int i=30;i>=0;i--) if(k&ci[i]){
        r=(now&ci[i])?1:0;
        if(ch[pos][r]) an+=siz[ch[pos][r]];
        pos=ch[pos][r^1];
        if(!pos) break;
    }else{
        pos=ch[pos][(now&ci[i])?1:0];
        if(!pos) break;
    }
    
    return an;
}

int main(){
    freopen("bit.in","r",stdin);
    freopen("bit.out","w",stdout);
    
    ci[0]=1;
    for(int i=1;i<=30;i++) ci[i]=ci[i-1]<<1;
    n=read(),k=read();
    now=0,ins();
    for(int i=1;i<=n;i++){
        val=read();
        now^=val;
        ans+=(ll)query();
        ins();
    }
    
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

T2:

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define maxn 400005
#define ha 1000000007
using namespace std;
ll hd[maxn],tag[maxn];
ll sum[maxn],sum_t[maxn];
ll sum_c[maxn],n,m,a[maxn>>1];
int le,ri,opt;
ll k,b,pos,ans;
char ch;
bool ww;

inline void pushup(int o,int lc,int rc,ll len){
    sum[o]=sum[lc]+sum[rc];
    if(sum[o]>=ha) sum[o]-=ha;
    sum_t[o]=sum_t[lc]+sum_t[rc];
    if(sum_t[o]>=ha) sum_t[o]-=ha;
    sum_c[o]=(sum_c[lc]+sum_c[rc]+sum[rc]*len)%ha;
}

void build(int o,int l,int r){
    if(l==r){
        sum[o]=a[l],sum_t[o]=a[l]*a[l]%ha;
        return;
    }
    
    int mid=(l+r)>>1,lc=o<<1,rc=(o<<1)|1;
    build(lc,l,mid),build(rc,mid+1,r);
    pushup(o,lc,rc,mid+1-l);
}

inline ll ci1(ll x){
    if(!x) return 0;
    return x*(x+1)/2%ha;
}

inline ll ci2(ll x){
    if(!x) return 0;
    ll an=x*(x+1)>>1ll;
    if(!(an%3)) return an/3%ha*(x*2+1)%ha;
    else return (2*x+1)/3*(an%ha)%ha;
}

inline void change(int o,ll len,ll sx,ll gc){
    hd[o]=(hd[o]+sx)%ha,tag[o]=(tag[o]+gc)%ha;
    sum_t[o]=(sum_t[o]+len*sx%ha*sx%ha+gc*gc%ha*ci2(len-1)%ha+2ll*sx%ha*sum[o]%ha)%ha;
    sum_t[o]=(sum_t[o]+2ll*sx%ha*gc%ha*ci1(len-1)%ha+2ll*gc%ha*sum_c[o]%ha)%ha;
    sum[o]=(sum[o]+sx*len%ha+ci1(len-1)*gc)%ha;
    sum_c[o]=(sum_c[o]+ci1(len-1)*sx%ha+gc*ci2(len-1))%ha;
}

inline void pushdown(int o,int l,int r){
    if(hd[o]||tag[o]){
        int mid=(l+r)>>1,lc=o<<1,rc=(o<<1)|1;
        change(lc,mid-l+1,hd[o],tag[o]);
        change(rc,r-mid,(hd[o]+tag[o]*(mid+1-l))%ha,tag[o]);
        hd[o]=tag[o]=0;
    }
}

void update(int o,int l,int r){
    if(l>=le&&r<=ri){
        change(o,r-l+1,(b+(ll)(l-le)*k)%ha,k);
        return;
    }
    
    pushdown(o,l,r);
    int mid=(l+r)>>1,lc=o<<1,rc=(o<<1)|1;
    if(le<=mid) update(lc,l,mid);
    if(ri>mid) update(rc,mid+1,r);
    pushup(o,lc,rc,mid+1-l);
}

ll query1(int o,int l,int r){
    if(l>=le&&r<=ri) return sum[o];
    pushdown(o,l,r);
    ll an=0,mid=(l+r)>>1,lc=o<<1,rc=(o<<1)|1;
    if(le<=mid) an+=query1(lc,l,mid);
    if(ri>mid) an+=query1(rc,mid+1,r);
    if(an>=ha) an-=ha;
    return an; 
}

ll query2(int o,int l,int r){
    if(l>=le&&r<=ri) return sum_t[o];
    pushdown(o,l,r);
    ll an=0,mid=(l+r)>>1,lc=o<<1,rc=(o<<1)|1;
    if(le<=mid) an+=query2(lc,l,mid);
    if(ri>mid) an+=query2(rc,mid+1,r);
    if(an>=ha) an-=ha;
    return an; 
}

int main(){
    freopen("calculation.in","r",stdin);
    freopen("calculation.out","w",stdout);
    
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",a+i);
    build(1,1,n);
    while(m--){
        ch=getchar();
        while(ch>‘C‘||ch<‘A‘) ch=getchar();
        if(ch==‘A‘){
            scanf("%d%d%lld%lld",&le,&ri,&k,&b);
            update(1,1,n);
        }else if(ch==‘B‘){
            scanf("%d%d",&le,&ri);
            printf("%lld\n",query1(1,1,n));
        }else{
            scanf("%d%d",&le,&ri);
            printf("%lld\n",query2(1,1,n));            
        }
    }
    return 0;
}

T3:

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define maxn 100005
using namespace std;
int n,m,T,st[maxn],tp,tot_len;
int tot,cirpot[maxn],mx1,mx2;
int to[maxn*10],val[maxn*10],ne[maxn*10];
int hd[maxn],dis[maxn],num,ans;
bool v[maxn],is_cc[maxn],hhh;

inline void init(){
    num=ans=tp=tot=tot_len=0;
    hhh=0;
    mx1=mx2=0;
    memset(hd,0,sizeof(hd));
    memset(dis,0,sizeof(dis));
    memset(is_cc,0,sizeof(is_cc));
    memset(v,0,sizeof(v));
}

inline void add(int uu,int vv,int ww){
    to[++num]=vv,ne[num]=hd[uu],hd[uu]=num,val[num]=ww;
    to[++num]=uu,ne[num]=hd[vv],hd[vv]=num,val[num]=ww;    
}

void dfs(int x,int len){
    ans=max(ans,len);
    v[x]=1;
    for(int i=hd[x];i;i=ne[i]) if(!v[to[i]]) dfs(to[i],len+val[i]);
    v[x]=0;
}

void tree_dp(int x,int fa){
    for(int i=hd[x];i;i=ne[i]) if(to[i]!=fa&&!is_cc[to[i]]){
        tree_dp(to[i],x);
        ans=max(ans,dis[x]+dis[to[i]]+val[i]);
        dis[x]=max(dis[x],dis[to[i]]+val[i]);
    }
}

void find_circle(int x,int fa){
    st[++tp]=x,v[x]=1;
    for(int i=hd[x];i;i=ne[i]) if(to[i]!=fa&&!hhh){
        if(v[to[i]]){
            hhh=1;
            int h;
            for(h=tp;h;h--) if(st[h]==to[i]) break;
            for(;h<=tp;h++) is_cc[st[h]]=1,cirpot[++tot]=st[h];
            
        }
        else find_circle(to[i],x);
    }
    tp--;
}

int hh(int x){
    if(x==tot+1) return 0;
    for(int i=hd[cirpot[x]];i;i=ne[i]) if(to[i]==cirpot[x%tot+1]) return val[i]+hh(x+1);
    return 123445;
}

void get(int x,int dd){
    tree_dp(cirpot[x],0);
    ans=max(ans,max(dis[cirpot[x]]+mx1+dd,dis[cirpot[x]]+mx2-dd));
    mx1=max(mx1,dis[cirpot[x]]-dd);
    mx2=max(mx2,tot_len+dis[cirpot[x]]+dd);
    if(x==tot) return;
    for(int i=hd[cirpot[x]];i;i=ne[i]) if(to[i]==cirpot[x+1]) get(x+1,dd+val[i]);
}

int main(){
    freopen("path.in","r",stdin);
    freopen("path.out","w",stdout);
    
    scanf("%d",&T);
    for(int l=1;l<=T;l++){
        init();
        scanf("%d%d",&n,&m);
        int uu,vv,ww;
        for(int i=1;i<=m;i++){
            scanf("%d%d%d",&uu,&vv,&ww);
            add(uu,vv,ww);
        }
        
        if(n>=m){
            if(n==m+1) tree_dp(1,1);
            else{
                find_circle(1,1);
                tot_len=hh(1);
                get(1,0);
            }
        }else{
            for(int i=1;i<=n;i++) dfs(i,0);
        }
        
        printf("%d\n",ans);
    }
    
    return 0;
}

T3竟然是找環之後單調隊列？？？？

代碼難度->INF

(神TM仙人掌，這個坑回來一定要填)

北京DAY1下午