愛在心中 vijos-1626 jdoj-1588

　　　　題目大意：給你n個點和m條有向邊，求出大於一的強連通分量的個數以及是否存在唯一的強連通分量使得這個分量可以被任意點到達。如果存在，則排序輸出這個強聯通分量裏的點，如果不存在或大於1個，則輸出-1。

　　　　註釋：n<=1000，m<=10000

　　　　　　想法：咳咳，又是一個新知識點，別問我博主為什麽最近狂學知識點...就因為一個LCA啊！(其實是受刺激了)。好，我們今天來說一下tarjan算法。

　　　　　　　　所謂tarjan，就是在多項式時間復雜度內求出強連通分量的算法。顯然，這題是一道裸題(這題的題目描述不是這樣的啊？！炒雞惡心的)。我在這裏簡略的說一下tarjan算法。我們用deep數組和low數組來記錄，其中，low數組表示時間戳，deep數組表示第幾個被搜到。然後，我們tarjan的過程就是dfs。對於一個剛剛被搜到的節點i，我把它扔進棧裏，緊接著我來枚舉這個點的出邊。如果枚舉到了一個棧裏的點，證明那個棧裏的點可以聯通到i且i有一條邊聯想棧中節點。所以，i和棧裏的點在同一個強聯通分量裏。那麽，我們怎麽記錄呢？我們用時間戳來記錄。顯然這個時候，i到那個棧裏的點之間的點都可以通過i連向棧裏的點的邊相互聯通，所以，他們之間的點的都隸屬於同一個強聯通分量裏。那麽，我們就用那個棧裏的最開始與i聯通的點為這個強聯通分量的標誌。但是，我們將i連向的點與i當做同一個強聯通分量當且僅當我們已經枚舉完i的所有出邊，即可。最後，我們用f[i]來表示一個強連通分量裏的所有點，其中f[i][0]表示這個強聯通分量裏面點的個數。

　　　　最後，我們來理解一下這個好看的版子(鳴謝panxf老師)... ...

void tarjan(int x)
{
    z[++top]=x;v[x]=1;inz[x]=1;// v[ ] 表示是否被處理過，inz[ ]表示是否在棧中。
    deep[x]=low[x]=++tot;        //deep[ ],low[ ],如上所述。
    for(int i=1;i<=n;i++)    //枚舉鄰接矩陣中的x的每一條出邊。
        if(a[x][i]==1)
        {
            if(v[i]==0)  tarjan(i),low[x]=min(low[x],low[i]);    //
 
沒有被訪問過，更新low[x]
            else if(inz[i]==1)  low[x]=min(low[x],deep[i]);    //如果在棧中，更新low[x]
        }
    if(deep[x]==low[x])    //當x的出邊都處理過後，如果deep[x]==low[x]
    {        
        ans++;        //記錄最大連通分量的個數。
        int t;        //t記錄棧頂元素    
        do            //do{ }while();  先執行再判斷。
        {
            t
 
=z[top--],inz[t]=0;        //取出棧頂    
            f[ans][++f[ans][0]]=t;    //記錄最大連通分量的集合元素。
        }while(t!=x);
    }
}

　　　　然後，我們來說明一下這道題。我們發現第一問統計答案顯然是簡單的，我們來看一下第二問。我們先將每一個強聯通分量縮成一個大的點，每一個所隸屬的強連通分量我們用inwhat來表示，所以，最後的強連通分量的個數不是anss，而是ans。然後，我們暴力枚舉所有的邊，來枚舉縮完點之後的這個圖的情況。緊接著，我們來證明一個事情：如果一個點是在這道題中滿足題意者，那麽它所必須要滿足的條件是出度為0且這張圖中只有這一個強聯通分量的出度為0。為什麽？我們來嘗試證明：

　　　　首先，如果這個點的出度不是0且滿足題意：我們假設這個點是a，有一條出邊指向了b。那麽此時，如果a滿足題意，則所有的點又可以指向或間接指向a，又因為a指向b，所以所有點有除了a的點都可以先指向a再指向b，且a直接指向b，所以，b也滿足題意，與題中只有一個點滿足題意矛盾，所以，一個點滿足題意必要條件是這個點的出度是0。

　　　　其次，我們來證明如果存在多個點出度是0也不滿足題意。對於這樣的兩個點a和b，出度都是0。仍然采用反證法：如果a滿足題意，那麽b指向a，但是b並沒有任何出邊，所以b不可能指向任何點，所以b不可能指向或間接指向a，所以，矛盾。故此，證畢。

　　　　此時，顯然我們可以直接枚舉所有的強連通分量，以至於特判和輸出即可。

　　　　最後，附上醜陋的代碼... ...

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstdio>
 3 // #include <cstring>
 4 #include <algorithm>
 5 #define N 1010
 6 using namespace std;
 7 int z[N],top,deep[N],low[N],tot,ans,a[N][N],f[N][N];
 8 int inwhat[N];
 9 int chu[N];
10 int x[N],y[N];
11 bool v[N],inz[N];
12 bool isv[N];
13 int n;
14 void tarjan(int x)
15 {
16     z[++top]=x;v[x]=inz[x]=1;
17     deep[x]=low[x]=++tot;
18     for(int i=1;i<=n;i++)
19     {
20         if(a[x][i])
21         {
22             if(!v[i]) tarjan(i),low[x]=min(low[x],low[i]);
23             else if(inz[i]) low[x]=min(low[x],deep[i]);
24         }
25     }
26     if(deep[x]==low[x])
27     {
28         ans++;
29         int t;
30         do{
31             t=z[top--],inz[t]=0;
32             f[ans][++f[ans][0]]=t;
33             inwhat[t]=ans;
34         }while(t!=x);
35     }
36 }
37 int main()
38 {
39     int m;
40     scanf("%d%d",&n,&m);
41     for(int i=1;i<=m;i++)
42     {
43         scanf("%d%d",&x[i],&y[i]); 
44         a[x[i]][y[i]]=1;
45         //a[y][x]=1;
46         isv[x[i]]=1;//表示x[i]這個點有出邊    
47     }
48     for(int i=1;i<=n;i++)
49     {
50         if(isv[i]&&!v[i])//這樣可以使得遍歷整個圖 
51         {
52             tarjan(i);
53         }
54     }
55     int anss=0;
56     for(int i=1;i<=ans;i++)//這是第一問，f[i][0]表示第i個強連通分量的點的個數 
57      {
58          if(f[i][0]!=1) anss++;
59     }
60     printf("%d\n",anss);
61     for(int i=1;i<=m;i++)
62     {
63         if(inwhat[x[i]]!=inwhat[y[i]])
64         chu[inwhat[x[i]]]++;//這步很重要，我們計算一個強連通分量的出邊是不可以計算強聯通分量之內的邊 
65     }
66     /*for(int i=1;i<=ans;i++)
67     {
68         for(int j=1;j<=f[i][0];j++)
69         {
70             printf("%d ",f[i][j]);
71         }
72         puts("");
73     }
74     for(int i=1;i<=ans;i++) printf("chu[%d]=%d\n",i,chu[i]);*/
75     int cnt=0;//記錄有多少出度為0的邊。 
76     int count=1;//記錄出度為0的邊是幾。 
77     for(int i=1;i<=ans;i++)
78     {
79         if(chu[i]==0) cnt++,count=i;
80     }
81     if(cnt>1) printf("-1\n");
82     else
83     {
84         if(f[count][0]==1)//如果只有一個點，是不滿足題意的 
85         {
86             printf("-1");
87             return 0;
88         }
89         sort(f[count]+1,f[count]+f[count][0]+1);//排序 
90         for(int i=1;i<=f[count][0];i++) printf("%d ",f[count][i]);
91     }
92     return 0;
93 }

　　　　小結：tarjan可以解決很多問題，也是一種遍歷的思想，在處理LCA是比較實用。

　　　　　　錯誤：1.枚舉強連通分量的出度是不要枚舉強連通分量之內的邊的情況。

　　　　　　　　　2.題目中的描述是解題的關鍵。

　　　　　　　　　3.開始想的是floyd，結果發現過不去，告訴我們做題要註意數據範圍。

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