??最近在解決三維問題時，需要判斷線段是否與立方體交叉，這個問題可以引申為：射線是否穿過立方體AABB。
??在3D遊戲開發中碰撞檢測普遍采用的算法是軸對齊矩形邊界框(Axially Aligned Bounding Box, AABB)包裝盒方法,其基本思想是用一個立方體或者球體完全包裹住3D物體對象，然後根據包裝盒的距離、位置等相關信息來計算是否發生碰撞。

slab的碰撞檢測算法

??本文接下來主要討論射線與AABB的關系，主要對box2d碰撞檢測使用的slab的碰撞檢測算法(Slabs method)進行介紹，然後使用python語言實現slab碰撞檢測方法，該方法可以用於3D物體拾取等應用場景。
??Slab英文翻譯是“平板”，本文是指兩個平行平面/直線之間的空間。在2D空間中slab可以理解為平行於坐標軸的兩條直線間的區域，3D空間中為平行於xy平面（或者yz面，xz面）的兩個平面之間的區域。由此，我們可以把3D空間中的AABB盒子看做是由AABB的3組平行面形成的3個方向的slab的交集。
??另外，引入候選面的概念：在3D空間中，我們先確定正對著射線的三個面，也就是說，我們可以通過某種方式將AABB相對於射線Ray的背面給忽略掉，從而確定三個候選的面。這三個候選的面，就是有可能和射線Ray發生交叉的最近的面。

??根據這個定義，我們可以得到以下三個結論：

1. 性質一：如果一個點在AABB中，那麽這個點必定同時在這3個slab中。
2. 性質二：如果一條射線和AABB相交，那麽這條射線和3個slab的相交部分必定有重合部分。
3. 性質三：當射線與這三個候選面中的一個發生交叉之後，射線Ray的原點到這個面的距離要比到其他幾個面的距離要長。

??性質一和性質二比較容易理解，如果射線和3個slab的相交線段沒有重合，那麽這些線段就不可能同時存在於3個slab中，也就不可能在AABB盒子中。
??為了方便理解性質三，使用2D圖形來講解：

??在上圖中，我們的射線在右下角，向左上角發射，射線經過一個A點，其中候選面是y1面和x2面。
??根據上述性質，可以看到A點同時在2D空間中的2個slab中；此外，根據性質二，因為射線與平面相交，那麽這條射線與slab的相交部分必有重合部分，因為A點在射線上，且在平面中，那麽可以得到max(t1,t2)<=tA<=min(t3,t4);根據性質三：當交叉後，可以看出t2>t1。
??同理，我們可以把上述的驗證過程推廣到三維中。在三維空間中，假設射線到3個候選面的距離分別是t1、t2、t3，到候選面對應的面的距離分別為t4、t5、t6，那麽根據性質二，射線與AABB碰撞的條件是max(t1,t2,t3)<=min(t4,t5,t6);如果發生交叉，那麽根據性質三，射線到最近的交叉面的距離是是max(t1,t2,t3)。

??在上述性質基礎上，確定射線與AABB是否交叉需要三步驟：

1. 如何確定候選面：只要將平面方程帶入射線Ray的方程，求出這兩個平面的t值，然後t值較小的那個自然先與射線交叉，那麽就表示它是一個候選面。射線可以用參數方程表示為R(t) = P0 + t·d, (其中P0為射線起點，d為射線的方向向量)
2. 如何確定候選面的方程。平面由隱式定義方程X·n=D， (其中X為平面上的點，n為平面法向量，D為原點到平面的距離)給出。由於AABB的slab平面都分別和兩個坐標軸平行，它的面的法線總是有兩個分量是0，而另外一個分量總是為1，所以我們一致使用某個軸分量為1的法線。如果上面的方程表示的是AABB盒的左面的面，那麽公式中的n表示的就是(1,0,0)，但上面的公式表示的是AABB盒的右邊的面的時候，n表示的值依然是(1,0,0)。
   
3. 如何對交叉點是否在AABB盒上進行判斷。根據性質二判斷，即射線與AABB碰撞的條件是max(t1,t2,t3)<=min(t4,t5,t6)。

碰撞檢測算法公式推導

??求取t值的公式推導如下：

碰撞檢測算法Python源代碼

最後，附上我的Python代碼片段，代碼實時更新於GitHub

# Ray-AABB方法 相交返回True，否則返回False
# TDPoint = collections.namedtuple("TDPoint", ["x", "y","z"])
# AABB有最大和最小點組成，數據結構為｛max=TDPoint,min=TDPoint｝
# Ray由原點和方向組成，其中方向矢量為1，數據結構為｛TDPoint，TDPoint｝
def intersectWithAABB(AABB,Ray):
    tmin=0
    tmax=10000

    # <editor-fold desc="平行於x軸">
    if(math.fabs(Ray[1].x)<0.000001):
        if (Ray[0].x<AABB.min.x) or (Ray[0].x>AABB.max.x):
            return  False
    else:
        ood=1.0/Ray[1].x
        t1=(AABB.min.x-Ray[0].x)*ood
        t2=(AABB.max.x-Ray[0].x)*ood
        # t1做候選平面，t2做遠平面
        if (t1>t2):
            temp=t1
            t1=t2
            t2=temp
        if t1>tmin:
            tmin=t1
        if t2<tmax:
            tmax=t2
        if tmin>tmax:
            return False
    # </editor-fold>

    # <editor-fold desc="平行於y軸">
    if(math.fabs(Ray[1].y)<0.000001):
        if (Ray[0].y<AABB.min.y) or (Ray[0].y>AABB.max.y):
            return  False
    else:
        ood=1.0/Ray[1].y
        t1=(AABB.min.y-Ray[0].y)*ood
        t2=(AABB.max.y-Ray[0].y)*ood
        # t1做候選平面，t2做遠平面
        if (t1>t2):
            temp=t1
            t1=t2
            t2=temp
        if t1>tmin:
            tmin=t1
        if t2<tmax:
            tmax=t2
        if tmin>tmax:
            return False
    # </editor-fold>

    # <editor-fold desc="平行於z軸">
    if(math.fabs(Ray[1].z)<0.000001):
        if (Ray[0].z<AABB.min.z) or (Ray[0].z>AABB.max.z):
            return  False
    else:
        ood=1.0/Ray[1].z
        t1=(AABB.min.z-Ray[0].z)*ood
        t2=(AABB.max.z-Ray[0].z)*ood
        # t1做候選平面，t2做遠平面
        if (t1>t2):
            temp=t1
            t1=t2
            t2=temp
        if t1>tmin:
            tmin=t1
        if t2<tmax:
            tmax=t2
        if tmin>tmax:
            return False
    # </editor-fold>
    return True

from 3D空間中射線與軸向包圍盒AABB的交叉檢測算法
from Box2D 射線和AABB的碰撞檢測

Ray-AABB交叉檢測算法