對於背包問題算法的理解

01背包：

算是模板的代碼：

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

int dp[1005];
int weight[1005];
int value[1005];int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    for(int i=1; i<=n; i++)
        cin>>value[i]>>weight[i];
    for(int i=1; i<=n; i++)//
 
 對每個數判斷，可反
    {
        for(int j=m; j>=weight[i]; j--)// 這裏這個循環定死，不能反, 反了就是完全背包
        {
            dp[j]=max(dp[j],(dp[j-weight[i]]+value[i]));// 不斷在判斷最優解
        }
    }
    for(int i=0;i<=m;i++)
        cout<<dp[i]<<"  ";
    cout<<endl;
    cout<<dp[m]<<endl;
    
 
return 0;
}

其本質是遍歷每一個物品，從滿重量到該物品的重量，尋找當前最優解（max(dp[j],dp[j-weight[i]+value[i])（分別對應選和不選））對於遍歷到每一個物品，dp[j]都是j重量下的最優解，然後不斷更新dp數組，最後得出全局最優解。

規定從 m 開始循環，保證了選擇這個物品時，肯定不會重復使用狀態。

完全背包：

算是模板的代碼：

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

int value[1005];
int weight[1005];
int dp[10005];
int main()
{
    
 
int m,n;
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        cin>>value[i]>>weight[i];
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=0;j<=m;j++)
            if(j>=weight[i])
            dp[j]=max(dp[j],dp[j-weight[i]]+value[i]);
    }
    cout<<dp[m]<<endl;
}

與01背包不同，完全背包物品可以無限選用。所以j變量從小到大變化可以保證每件物品均可無限選用（用一組簡單的數據測試便可理解），每次求最優值，最後得出全局最優值。

多重背包：

多重背包可以分解成01背包和完全背包的組合。

如果全部選擇某一物品宣曼後仍然有剩余，則可以看做該物品可以無限選取；

如果不能看做無限選取，則可以看做一些相同的01背包的組合；

用二進制分解優化後的代碼：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1005;

int dp[N];
int c[N],w[N],num[N];
int n,m;

void ZeroOne_Pack(int cost,int weight,int n)//吧01背包封裝成函數
{
    for(int i=n; i>=cost; i--)
        dp[i] = max(dp[i],dp[i-cost] + weight);
}

void Complete_Pack(int cost,int weight,int n)//把完全背包封裝成函數
{
    for(int i=cost; i<=n; i++)
        dp[i] = max(dp[i],dp[i-cost] + weight);
}

int Multi_Pack(int c[],int w[],int num[],int n,int m)//多重背包
{
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    for(int i=1; i<=n; i++)//遍歷每種物品
    {
        if(num[i]*c[i] > m)
            Complete_Pack(c[i],w[i],m);
            //如果全裝進去已經超了重量，相當於這個物品就是無限的
            //因為是取不光的。那麽就用完全背包去套
        else
        {
            int k = 1;
            //取得光的話，去遍歷每種取法
            //這裏用到是二進制思想，降低了復雜度
            //為什麽呢，因為他取的1,2,4,8...與余數個該物品，打包成一個大型的該物品
            //這樣足夠湊出了從0-k個該物品取法
            //把復雜度從k變成了logk
            //如k=11，則有1,2,4,4，足夠湊出0-11個該物品的取法
            while(k < num[i])
            {
                ZeroOne_Pack(k*c[i],k*w[i],m);
                num[i] -= k;
                k <<= 1;
            }
            ZeroOne_Pack(num[i]*c[i],num[i]*w[i],m);
        }
    }
    return dp[m];
}

int main()
{
    int t;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        cin>>m>>n;
        for(int i=1; i<=n; i++)
            cin>>c[i]>>w[i]>>num[i];
        cout<<Multi_Pack(c,w,num,n,m)<<endl;
    }
    return 0;
}

背包問題筆記