筆記：RMQ（區間最值）之ST算法
RMQ（區間最值）之ST算法
RMQ即Range Minimum/Maximun Query 中文意思：查詢一個區間的最小值/最大值
比如有這樣一個數組：A{3 2 4 5 6 8 1 2 9 7}，然後問你若幹問題：
數組A下標2~7區間最小的值是多少？ 最小值是（1）
數組A下標3~6區間最小的值是多少？ 最小值是（4）
數組A下標1~10區間最小的值是多少？ 最小值是（1）
......
專業術語：對於長度為n的數列A，回答若幹詢問RMQ（A,i,j）(i,j<=n)，返回數列A中下標在i，j之間的最小/大值。
這個問題其實可以用線段樹輕松實現O(N)預處理，O（logN）查詢，已經是很不錯的復雜度了。
但是：有的時候查詢操作很多，所以我們需要一個O（1）的查詢算法。
那就是Sparse Table 即ST算法
ST算法是比較高效的在線算法。所謂在線算法，是指用戶每輸入一個查詢便馬上處理一個查詢。該算法一般用較長的時間做預處理，待信息充足以後便可以用較少的時間回答每個查詢。ST算法是一個非常有名的在線處理RMQ問題的算法，它可以在O(nlogn)時間內進行預處理，然後在O(1)時間內回答每個查詢。
（一）首先是預處理，用動態規劃（DP）解決。
設A[i]是要求區間最值的數列，F[i, j]表示從從i開始的連續2^j個數中的最大值。（DP的狀態）
例如：A數列為：3 2 4 5 6 8 1 2 9 7 12 3 21
下標為：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
F[1，0]表示第1個數起，長度為2^0=1的最大值，其實就是A數列中3這個數。同理：
F[1, 1] = max(3,2) = 3,
F[1，2]=max(3,2,4,5) = 5，
F[3，2]=max(4,5,6,8) = 8， F[3，2]表示從第三個數4開始連續（2^2）4個數中的最大值8
F[1，3] = max(3,2,4,5,6,8,1,2) = 8;
並且我們可以容易的看出F[i,0]就等於A[i]。（DP的初始值）
假如i=3，那麽F[i, 0]=max(4,4)=4, A[3]=4, 所以DP的初值就是F[i,0]=A[i]
這樣，DP的狀態、初值都已經有了，剩下的就是狀態轉移方程。
我們把F[i，j]平均分成兩段（因為F[i，j]一定是偶數個數字），
前半段為 i 到i + 2 ^ (j - 1) - 1， （請動手計算一下）
後半段為i + 2 ^ (j - 1)到i + 2 ^ j - 1 需要註意的是2 ^ (j - 1)和 2 ^ j - 1 的區別
前後段的長度都為2 ^ (j - 1)。
用上例說明，當i=1，j=3時就是3,2,4,5 和 6,8,1,2這兩段。
F[i，j]就是這兩段各自最大值中的最大值。
於是我們得到了狀態轉移方程：
f[i,j]=max(f[i,j-1],f[i+2^(j-1),j-1]);
方程前半段為f[i,j-1] 表示 從i 起連續2^(j-1)個數的最大值。
方程後半段f[i+2^(j-1),j-1] 表示從i + 2 ^ (j - 1)起連續2^(j-1)個數據的最大值。
然後取前後兩段各自最大值中的最大值。
總結：求從i起連續2^j個數的最大值，就是把2^j 分成前後兩個2^(j-1)，分別取其最大值，再通過比較獲得此狀態最大值。
我們先來學習個小知識點“<<”位移符號的使用
C或C++中：
<<可作為左移運算符 (向左移一位，右邊自動補0)
比如：i<<4,是按位左移4位。
比如8<<4：
二進制狀態下：
0000 0000 0000 1000 = 十進制8
↓
0000 0000 1000 0000 = 十進制128 128=8^4
十進制狀態下：
1<<1 等價於 1*2^1
1<<2 等價於 1*2^2
3<<3 等價於 3*2^3
5<<4 等價於 5*2^4
聽說位移"<<" 速度比乘法快。
註意+-運算符優先於<<符號
比如：5-1<<1等同(5-1)*2^1 ，而不是5-1*2^1
所以如果要表示 5-1*2^1，要寫成5-(1<<1)
DP預處理的代碼如下：請選擇一種適合自己的方法作為模板。
//第一種寫法：請理解好循環條件的意義
int n; //n是數組元素個數 int a[100004]; //數列 int f[100004][30]; //f[i][j] //f[i][j]表示以i為起點，區間長度為2^j的一段區間的最小（大）值 void RMQ_ST ( ) ////預處理ST表,數組中共n個元素 O(nlogn) { for (int i=1;i<=n;i++) f[i][0]=a[i];//dp初始值 for(int j=1;j<=20;j++) //為什麽是20? 2^j最大可以是多大？ for ( int i = 1; i <= n; i++ ) //思考為什麽外循環j套i，而不是外循環i套j if(i+(1<<j)-1<=n) //“<<”符號請看前面知識點 (1<<j)註意括號 { int s=i+(1<<(j-1)); //後半段的起點 等價 i+2^(j-1) f [i][j]=max ( f [i][j-1], f [s][j-1] ); //區間最大值，最小值用min函數 } }
//第二種寫法：請理解好循環條件的意義
void RMQ_ST2 ( ) //預處理ST表,數組中共n個元素 O(nlogn) { for (int i=1;i<=n;i++) f[i][0]=a[i]; //dp初始值 for (int j=1;(1<<j)<=n; j++) //註意(1<<j)加上括號 for (int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++) // f [i][j]=max( f [i] [j-1], f [i+(1<<(j-1))] [j-1] );//求最小值是函數min }
這裏我們需要註意的是循環的順序，我們發現外層是j，內層所i，這是為什麽呢？
可以是i在外，j在內嗎？
答案是不可以。因為我們需要理解這個狀態轉移方程的意義。
狀態轉移方程的含義是：我們先得到F[i,0]（即1個元素）的值，然後通過2個1個元素的最值，獲得所有長度為F[i,1]（即2個元素的最值），然後再通過2個2個元素的最值，獲得所有長度為F[i,2]（即4個元素的最值），以此類推更新所有長度的最值。
而如果是i在外，j在內的話，我們更新的順序就是F [1,0],F [1,1],F [1,2],F [1,3],表示更新從1開始的1個元素，2個元素，4個元素，8個元素(a[0],a[1],....a[7]）的最值，這跟我們的思維和計算方法完全不同，所以這樣的方法肯定是錯誤的。
為了避免這樣的錯誤，一定要好好理解這個狀態轉移方程所代表的含義。
（二）接著解決怎麽樣查詢。
先看小知識：
冪：指乘方運算的結果。nm指將n自乘m次（針對m為正整數的場合）。把nm看作乘方的結果，叫做“n的m次冪”或“n的m次方”。
其中，n稱為“底數”，m稱為“指數”（寫成上標）。當不能用上標時，通常寫成n^m。
對數：如果 
，即a的x次方等於N（a>0，且a≠1），那麽x叫做以a為底N的對數，記作
。其中，a叫做對數的底數，N叫做真數。
特別註意：如果在c或c++語言裏，註意加上頭文件cmath或math.h。
對數形式應該寫成x=loga (N)，其中a是底數，(N)是真數，真數N一定要用（）。
比如x=log2 (8),那麽x=3。註意：log和2之間不要有空格。
還可以寫成另外一種形式：x=log(N) / log(a),真數和底數都要加括號，而且真數在前面，不建議用這個形式。
查詢:
假設要查詢從(i, j)這一段的最大值, 這個區間的長度我們可以計算得出是j - i + 1。
那麽我們先求出一個最大的k, 使得k滿足2^k <= (j - i + 1).
我們可以取k=log2( j - i + 1），舉例說明：
要求區間[1，5]的最大值，k =(int)（log2（5 - 1 + 1））= 2。（計算機語言寫法）,
(int)是用來向下取整。（想想為什麽要向下取整）
我們就可以把[i, j]分成兩個(部分重疊的)長度為2^k的區間: [i, i+2^k-1], [j-2^k+1, j];
比如查詢數列A：5，6，7，8，9，我們可以查詢(1, 4) 和(2, 5)這兩個區間。
就是查詢5 6 7 8和6 7 8 9 ，原數列左邊界i和右邊界j是不變的, 只是中間的三個數6 7 8重疊。
又比如數列B： 4 5 6 7 8 9 經計算數列B長度為 j-i+1=6，那麽：
k=int(log2(j-i+1))=2 (int)是用來向下取整。（想想為什麽要向下取整）
[i, i+2^k-1]區間計算後為[1,4] 包含元素為 4 5 6 7共4個。
[j-2^k+1, j]區間計算後為[3,6] 包含元素為 6 7 8 9 也是4個。
而我們之前dp預處理時已經求出了：
f(i, k)為區間[i, i+2^k-1]的最大值, 比如上面的f(1, 4)我們在預處理時已經求出來了。
f(j-2^k+1, k)為區間[j-2^k+1, j]的最大值，比如上面的f(2, 5)我們在預處理時也已經求出來了。
我們只要返回其中更大的那個, 就是我們想要的答案, 這個算法的時間復雜度是O(1)的.
則有：RMQ(A, i, j)=max{ f [i , k], f [ j - 2 ^ k + 1, k]}。(偽代碼)
又比如：要求區間[2，8]的最大值，k =(int)( log2（8 - 2 + 1）)= 2，
即求max (f [2, 2]，f [8 - 2 ^ 2 + 1, 2]) = max (f [2, 2]，f[5, 2])；
而f [2, 2]和f[5, 2]在前面已經預處理過了
請計算一下區間[1 ,11]的最大值，像上面一樣手寫過程。
查詢代碼如下：
int rmq_ask (int l, int r) //查詢區間(l, r) { int k=(int) (log2(r-l+1)); //l->r區間長度---為2^k(向下取整) 千萬記住對數一定要整體括起來 return max (f[l][k], f[r-(1<<k)+1][k]); //根據需要取min或者max }
ST算法解RMQ模板（洛谷1816 忠誠）
https://www.luogu.org/problemnew/show/P1816
P3865 【模板】ST表
https://www.luogu.org/problemnew/show/P3865
P3379 【模板】最近公共祖先（LCA）請用RMQ
https://www.luogu.org/problemnew/show/P3379
參考文章：
http://blog.csdn.net/qq_35776409/article/details/62890728
http://blog.csdn.net/u012860063/article/details/40752197
http://blog.csdn.net/qq1169091731/article/details/51981497
https://wenku.baidu.com/view/6a7d691aa8114431b90dd877.html
筆記：RMQ（區間最值）之ST算法