RMQ問題：求長度為n的數列中，求[i,j]直接的最值。

ST算法：一種動態規劃的方法。

一、預處理dp數組

對於區間[i,i+2^j-1]的最值，只需要知道區間[i,i+2^(j-1)-1]和區間[i+2^(j-1),i+2^j-1]的最值即可。

　　由此可的遞推方程：dp[i,i+2^j-1] = max(dp[i,i+2^(j-1)-1],dp[i+2^(j-1),i+2^j-1])

但是對於一個比較長的數列,2^j是一個非常大的數，我們也可發現，沒什麽必要直接記錄左右端點。

優化為i記錄一個起點，j記錄類似距離的東西，dp[i,j]表示區間[i,i+2^j-1]。

　　優化後遞推方程：dp[i,j] = max(dp[i,j-1],dp[i+2^(j-1),j-1])

預處理dp數組時間復雜度為O(nlogn)。

二、查詢最值

所以開始把一個區間當dp數組求出來，再進行查詢即可。

但是查詢時候，知道的是兩個端點l,r。

對於區間[l,r]，如何再dp數組中查詢呢？

前面講了i表示起點，j代表類似距離的東西。

很明顯l就是i了。可是2^j-1不可能是r，這時候就要找個中間的"j"了。

令len = r-l+1, 則2^k <= len(此處註意不是2^k-1,反證：當2^k-1 == len時，l + 2^k-1 = l + len = r + 1 > r)

　　即[l,r] = max(dp[l,k],dp[r-(2^k)+1,k])

查詢時間復雜度為O(1)。

盡管代碼比較簡潔並且功能比較強大，速度也比較快，可是並沒有線段樹那麽功能多。

 1 #include <cstdio>
 2 #include <cmath>
 3 #include <iostream>
 4 using namespace std;
 5 const int maxn = 100005;
 6 int ma[maxn][20];
 7 int mi[maxn][20];
 8 int a[maxn];
 9 void init(int n){
10     for(int i = 1; i <= n; ++i)
11         ma[i][0
 
] = mi[i][0] = a[i];
12     for(int j = 1; (1<<j) <= n; ++j)
13         for(int i = 1; i+(1<<j)-1 <= n; ++i){
14             ma[i][j] = max(ma[i][j-1], ma[i+(1<<(j-1))][j-1]);
15             mi[i][j] = min(mi[i][j-1], mi[i+(1<<(j-1))][j-1]);
16         }
17 }
18 int rmq_max(int l, int r, int k){
19     return max(ma[l][k], ma[r-(1<<(k))+1][k]);
20 }
21 int rmq_min(int l, int r, int k){
22     return min(mi[l][k], mi[r-(1<<(k))+1][k]);
23 }
24 int rmq(int l, int r){
25     int k = 0;
26     while(1<<(k+1) <= r-l+1)
27         ++k;
28     //int k = (int)(log(1.0*(r-l+1))/log(2.0));//也可以直接算出k
29     //算出k後，具體情況進行調用函數計算。例如返回最大差值.
30     return rmq_max(l,r,k) - rmq_min(l,r,k);
31 }
32 int main(){
33     int n,q;
34     scanf("%d%d",&n,&q);//n個數，q次查詢次數
35     for(int i = 1; i <= n; ++i)//輸入n個數
36         scanf("%d",a+i);
37     init(n); int l,r;
38     while(q--){//進行q次查詢
39         scanf("%d%d",&l,&r);
40         printf("%d\n",rmq(l,r));
41     }
42     return 0;
43 }

RMQ問題之ST算法