算法模板——線段樹
前言
線段樹作為高級數據結構，可以做非常非常多的事情，那麽線段樹到底是什麽呢，我們就此了解下
一.基本概念
線段樹並非什麽特別高級的東西，顧名思義，它也就是一棵樹。那麽為什麽叫線段樹呢？因為樹的節點上存的就是一些區間，也就是線段。那麽它長啥樣呢？
嗯，如上圖，就是一個區間[1,9]的線段樹。有些節點是葉子節點，葉子節點長度為1，不能繼續往下分。葉子節點記錄的信息是最基本的信息，而其他非葉子節點記錄的就是兩個兒子信息的合並（合並的方法有很多，具體情況具體分析）。線段樹的左右區間分別為\([l,mid],(mid,r]\)。而且，由於線段樹是一顆二叉樹，並且線段樹是二分構造，所以它非常平衡，深度也是\(log_n\)
怎麽記錄？記錄的話，可以學習堆的建造方法，當前點是\(p\)，左兒子即是\(p*2\)，右兒子就是\(p*2+1\)
二.操作
線段樹被發明出來，肯定有它的道理，線段樹由於能快速的支持一些操作，因此被廣泛使用
1.單點修改
高級數據結構必然要能修改值，修改的話，只需要從線段樹的根開始，一路查詢到葉子節點，更新完葉子節點後，再將葉子節點到根的路徑上的點一路更新一下即可。時間復雜度最大是線段樹的深度，即\(O(log_n)\)
void change(){//醜陋的偽代碼，x是我要修改的點的位置 if (到達葉子節點) 修改當前節點; return; } int mid=區間中點； if (x<=mid) 對左兒子進行操作； if (x>mid) 對右兒子進行操作； 更新； }
2.區間查詢
在了解區間查詢之前，我們先要知道區間分解
如圖就是區間[2,8]的分解，紅色的節點表示終止節點。我們只要把所有的終止節點合並起來，就是我所要分解的區間。並且，每層的終止節點一定不會超過2個。所以說，區間查詢的時候只需要找到所有的終止節點即可，否則復雜度就上升到\(O(n log_n)\)，比暴力還差。終止節點每層做多2個，所以查找的復雜度也是\(log_n\)量級的
那麽如何保證我只找到這些終止區間呢？
int query(){//依然是醜陋的偽代碼 //l,r是線段樹的區間，x,y是查詢區間 if (x<=l&&r<=y) 返回節點信息;//線段樹的區間完全包含在查詢區間內 int mid=區間中點,ans; //如果不是完全包含則只需要做兩個判斷 if (x<=mid) ans=ans+左兒子信息;//查詢的區間有部分在左兒子內 if (y>mid) ans=ans+右兒子信息;//查詢的區間有部分在右兒子內 return ans; }
（偽代碼實在太醜……下面有一個真正的代碼）
三.例題
1.
Description
給定一數列，規定有兩種操作，一是修改某個元素，二是求區間的連續和。
Input
輸入數據第一行包含兩個正整數n,m(n<=100000,m<=500000),以下是m行，
每行有三個正整數k,a,b(k=0或1, a,b<=n).
k=0時表示將a處數字加上b,k=1時表示詢問區間[a,b]內所有數的和。
Output
對於每個詢問輸出對應的答案。
暴力的話，\(O(n^2)\)的復雜度，如果\(n\)到了\(10^6\)的話，這顯然是不行的。這個時候，我們就需要用線段樹來完成這道題了。單點修改，區間查詢，用線段樹是很容易實現的
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;
const int N=1e5;
int val[N*4+10];
int read(){
int x=0,f=1;char ch=getchar();
for (;ch<‘0‘||ch>‘9‘;ch=getchar()) if (ch==‘-‘) f=-1;
for (;ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘;ch=getchar()) x=x*10+ch-‘0‘;
return x*f;
}
void change(int p,int l,int r,int x,int t){
if (l==r){
val[p]+=t;
return;
}
int mid=(l+r)>>1;
if (x<=mid) change(p*2,l,mid,x,t);
else change(p*2+1,mid+1,r,x,t);//修改左右兒子，因為建樹的原因，所以在x<=mid的時候修改左兒子
val[p]=val[p*2]+val[p*2+1];
}
int get(int p,int l,int r,int x,int y){//對照偽代碼即可
if (x<=l&&r<=y) return val[p];
int mid=(l+r)>>1;
int ans=0;
if (x<=mid) ans+=get(p*2,l,mid,x,y);
if (y>mid) ans+=get(p*2+1,mid+1,r,x,y);
return ans;
}
int main(){
int n=read(),m=read();
for (int i=1;i<=m;i++){
int k=read(),x=read(),y=read();
if (!k) change(1,1,n,x,y);
if (k) printf("%d\n",get(1,1,n,x,y));
}
return 0;
}對於簡單的單點修改和區間查詢，我們只需要考慮好節點上維護的信息是什麽，該怎麽修改，詢問這些值即可。
2.
Description
給定一行n個正整數a[1]..a[n]。
m次詢問，每次詢問給定一個區間[L,R]，輸出a[L]..a[R]的最大公因數。
Input
第一行兩個整數n，m。
第二行n個整數表示a[1]..a[n]。
以下m行，每行2個整數表示詢問區間的左右端點。
Output
共m行，每行表示一個詢問的答案。
這題不牽涉到修改操作，只有查詢操作。但是查詢是查找\(gcd\)。因此我們對於葉子節點維護點的值，非葉子節點就維護兩個兒子節點的\(gcd\)即可
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define inf 0x7f7f7f7f
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned int ui;
typedef unsigned long long ull;
inline int read(){
int x=0,f=1;char ch=getchar();
for (;ch<‘0‘||ch>‘9‘;ch=getchar()) if (ch==‘-‘) f=-1;
for (;ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘;ch=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-‘0‘;
return x*f;
}
inline void print(int x){
if (x>=10) print(x/10);
putchar(x%10+‘0‘);
}
const int N=1e3,limit=1e9;
int tree[N*4+10];
#define ls (p<<1)
#define rs (p<<1|1)
int gcd(int a,int b){return !b?a:gcd(b,a%b);}
void updata(int p){tree[p]=gcd(tree[ls],tree[rs]);}
void build(int p,int l,int r){
if (l==r){
tree[p]=read();
return;
}
int mid=(l+r)>>1;
build(ls,l,mid),build(rs,mid+1,r);
updata(p);
}
int query(int p,int l,int r,int x,int y){
if (x<=l&&r<=y) return tree[p];
int mid=(l+r)>>1,ans=0;
if (x<=mid) ans=gcd(ans,query(ls,l,mid,x,y));
if (y>mid) ans=gcd(ans,query(rs,mid+1,r,x,y));
return ans;
}
int main(){
int n=read(),m=read();
build(1,1,n);
for (int i=1,x,y;i<=m;i++) x=read(),y=read(),printf("%d\n",query(1,1,n,x,y));
return 0;
}四.尾聲
我們討論了這麽多，只是講了線段樹的單點修改和區間查詢。那麽區間修改該如何解決？請見線段樹之Lazy標記
算法模板——線段樹