1.Combinatorial Mathematics

1.1 Bell Number:　

\(B_n\)表示元素個數為n的集合劃分成若幹個不相交集合的方案數

\(B_{n + 1} = \sum_{k = 0}^n C(n,k)B_k\).

1.2 Catalan Number:

遞推公式： \(h_1 = 1, h_n = \frac{h_{n-1}(4n-2)}{n+1}\).

組合數公式：\(h_n = \frac{C(2n,2)}{n +1} = C(2n,n) - C(2n,n+1)\).

前n項: 1,1,2,5,14,42,132,429,1430,4862,16796,58768

長度為\(n\) 的合法括號匹配為\(h_{n}\), 有 \(n+1\) 個葉子節點的二叉樹的形態有 \(h_{n}\) 個.

convex polygon with \(n + 2\) sides can be cut into triangles in \(h_{n}\) different ways.

1.3 Cayley‘s Theorem:

所有群G同構於在G上的對稱群的子群

拓展版本：對於\(n\) 個點, \(m\)個連通塊，每個連通塊\(a[i]\)個點，用\(s-1\)條邊連通的方案數為\(n^{s-2}a[1]a[2]...a[m]\)。

n個節點（有標號）的樹的形態個數為\(n^{n-2}\)

.

1.4 Jacobi‘s Four Square Theorem

設 \(a^2 + b^2 + c^2+d^2 = n\) 的自然整數解的個數為\(r4(n)\), \(d(n)\)為n的約數和，由Jacobi‘s Four Square Theorem可知，若n是奇數，則\(r4(n) = 8d(n)\), 否則\(r4(n) = 24d(k)\), \(k\)為n去除所有2後的結果

1.5 Balls and Boxes

1.6 Stirling2第二類斯特林數

\(S(p,k)\):將p個物體劃分成k個非空的不可辨別的集合的方案數（第一類為劃分為排列）

\(S(p,k) = kS(p-1,k) + S(p-1,k-1)\)

\(S(p,0) = 0,p >= 1,S(p,p) = 1\)

卷積形式\(S(n,m) = \sum\limits_{k=0}^m\frac{(-1)^k}{k!}×\frac{(m-k)^n}{(m-k)!}\)

1.7 組合恒等式

2.對稱恒等式\(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\)

3.吸收恒等式\(\binom{n}{k} = \frac{n}{k} \binom{n-1}{k-1}\)

4.加法恒等式\(\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}\)

5.三項式\(\binom{n}{m}\binom{m}{k} = \binom{n}{k}\binom{n-k}{m-k}\)

6.平行求和\(\sum\limits_{k\leq m}\binom{n+k}{k} = \binom{n + m + 1}{m}\)

7.範德蒙德卷積\(\sum\limits_{k}\binom{n}{k}\binom{m}{r-k} = \binom{n+m}{r}\)

1.8 級數

\(\frac{1}{(1+x)^n} = C(n-1,n-1) + C(n,n-1)x + C(n+1,n-1)x^2 + ....C(2n,n-1)x^n\)

1.9 二項式反演

\(a(n) = \sum\limits_{i = 0}^{n}\binom{n}{i}b(i) \to b(n) = \sum\limits_{i = 0}^{n}(-1)^{n - i}\binom{n}{i}a(i)\)

1.10 Polya與Burnside

\(G\)是目標集\([1,n]\)上的置換群，\(c(a_k)\)是在置換\(a_k\)的作用下的不動點

則等價類的個數等於\(\frac{1}{|G|} * \sum\limits_{i = 1}^gc(a_i)\)

典型例子包括圓排列，只有一個置換有不動點,個數為n!，所以圓排列的數量要再除n（共有n個置換）

###一個置換對應若幹個不相交的循環，記下循環的個數為\(\lambda(a_i)\)

比如旋轉這種最常見的操作，轉i次對應的循環個數是\(gcd(i,n)\)

Polya定理: \(L = \frac{1}{|G|}\sum\limits_{a_i \in G} m ^{\lambda(a_i)}\)，m是染色的顏色數

2.Graph Theory

2.1獨立集點覆蓋匹配

二分圖：

最小路徑覆蓋 = 最大獨立集 = 總結點數 - 最大匹配

最小點覆蓋 = 最大匹配數

任意圖：

最大獨立集 + 最小點覆蓋 = 點數

最大團 = 補圖的最大獨立集

2.2 Matrix-Tree Theorem

\(diag(D)\)為點度數向量生成的對角矩陣，\(G_{xy}\)為鄰接矩陣，則\(n-1\)階子矩陣的行列式值\(det([diag(D) - G_{xy}]_{n-1})\)為生成樹的個數。Clayey定理是特殊形式。

2.3平面圖

\(F?\)為平面中的分割區域數，\(E?\)為邊數，\(V?\)為點數，\(F = E- V +1?\)

2.4 雙連通分量

加最少多少條邊使得圖變成雙連通分量、

縮點成樹後計算葉子節點樹

3.Number Theory

3.1 積性函數

\(f(n)\)的定義為正整數域，值域為復數域，\(f(n)\)則為數論函數

\(f(n)\)為數論函數，對於互質的整數\(p,q\)有$ f(p * q) = f(p) * f(q)$則為積性函數，沒有互質條件限制時則被稱為完全積性函數

1.\(id(i) = i\) 單位函數 2.\(e(i) = [i = 1]\) 元函數

3.\(d(i)\),\(i\)的約數個數 4.\(\sigma(i)\),\(i\)的約數和

5.\(I(n) = 1\)恒等函數 6.\(\phi(n)\)歐拉函數

7.\(\mu(n)\), 莫比烏斯函數

8.\(\sigma_k(n) = \sum_{d|n}d^k\)除數函數，n約數的k次冪和

單位函數，元函數，單位函數的冪，恒等函數都是完全積性函數

3.2積性函數性質

\(n = \sum\limits_{d|n}\phi(d)\)

\(e(n) = \sum\limits_{d|n}\mu(d)\)

3.3 Dirichlet Product

兩個數論函數f和g的Dirichlet卷積為\((f*g)(n) = \sum_{d|n}f(d) * g(\frac{n}{d})\)，Dirichlet卷積滿足交換律，結合律，對加法滿足分配律。

任意函數和元函數的Dirichlet卷積是函數本身。

恒等函數和莫比烏斯函數的Dirichlet卷積是元函數（3.2.1）。

恒等函數和歐拉函數的Dirichlet卷積是單位函數（3.2.2）。

兩個積性函數的Dirichlet卷積是積性函數。

恒等函數\(I\)和莫比烏斯函數\(\mu\)在Dirichlet卷積意義下互為逆元，由此可以得到莫比烏斯反演\(g = f *I, g * \mu = f\)。

3.4恒等式與技巧

1.\(\sum_{i=1}^{n}\sigma_{k}(i) = \sum_{i = 1}^{n}\sum_{d|i}d^k = \sum_{d = 1}^nd^k\lfloor\frac{n}{d}\rfloor\)

2.\([s = \emptyset] = \sum_{t \subset s}(-1)^{|t|}\)

3.\(n = p^k \to \phi(n) = p^k - p^{k-1}\)

4.\(s(n) = \sum_{i=1}^{n}i * \lfloor\frac{n}{i}\rfloor = \sum_{i = 1}^{n}\sigma(i)\)

3.5 拓展歐拉定理

\(a^n \equiv a^{n \ mod \ \phi(p) + \phi(p)} (mod p), (n \geq \phi(p))\)

3.7 反素數

對於任何正整數n，其約數個數記為\(d(n)\)，如果任意\(i < n\), \(d(i) < d(n)\)，則n被稱為反素數，反素數的形式必定為\(n = 2^{t_1} * 3^{t_2} * 5^{t_3} *....\),並且,fan\(t1 \geq t2 \geq t3 ....\)，反素數的求解通常使用dfs。建的dfs樹形式為，每層若幹個節點表示的某個質###因子的若幹次方。

3.8 證明實例

1.計算\(\sum_{i = 1}^{m}\sum_{j = 1}^{n}gcd(i,j)\)

$f(d) = \sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{m}[gcd(i,j) == d] $

\(F(d) = \sum_{i = 1}^n\sum_{j = 1}^m[d | gcd(i,j)]\)

顯然\(F(d) = \sum\limits_{d|n} f(n)\),自然使用反演\(f(d) = \sum\limits_{d | n}F(n) * \mu(\frac{n}{d})\)

通過常用的加速技巧，即可在\(O(\sqrt{n})\)時間內完成計算

2.求第 \(n\) 個非完全平方數

先套一層二分，轉化為求\(f(n) = \sum_{i = 1}^{n}\sum\limits_{d}[d * d == n]\)

這會是一種莫比烏斯式的容斥,也可以構造類似於1的兩個函數，篩法求解

\(f(n) = \sum_{d = 1}^{\sqrt{n}}\mu(d)\lfloor\frac{n}{i^2}\rfloor\)

3.\(f(n) = rad(n) * \phi(n), g(n) = \sum_{d|n}f(d),h(n) = \sum_{i = 1}^ng(i)\),rad(n)是n的因子中最大的無平方因子的因子

$n = \prod_{i = 1}^tp_i^{k_i} , $ \(rad(n) = \prod_{i = 1}^{t}p_i\)

\((n,m) = 1,rad(n * m) = rad(n) * rad(m)\)

\(f(n)\)為積性函數

\(g(n) = \sum_{d|n}f(d) = \prod_{i=1}^{t}\sum_{j = 0}^{k_i}f(p_i^j) = \prod_{i = 1}^t(1 + p_i *\sum_{j = 1}^{k_i}\phi(p_i^{j - 1})) = \prod_{i = 1}^t(p_i^{k_i} + 1)\)

這個式子代表的含義是，每個質因子要麽都選，要麽都不選，得到的所有乘積

\(g(n) = \sum_{d | n}[(d,\frac{n}{d}) = 1] * d = \sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^n[(i,j) = 1] * [ij = n] * i\)

###\(h(n) = \sum_{k=1}^{n}\sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^n[(i,j) = 1] * [ij = k] * i\)

\(h(n) = \sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^n[(i,j) = 1] * [ij \leq k] * i\)

\(h(n) = \sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{n}[ij\leq n]i\sum\limits_d[d | i][d | j] \mu(d)\)

\(h(n) = \sum_{d = 1}^{\sqrt{n}}d\mu(d)\sum\limits_{i = 1}^{n}\sum\limits_{j = 1}^{n}[d | i][f | j][ij \leq n]\frac{i}{d}\)

\(h(n) = \sum\limits_{d = 1}^{\sqrt{n}}d\mu(d)\sum\limits_{i = 1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\sum\limits_{j = 1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}[ijd^2 \leq n]i\)

\(h(n) = \sum\limits_{d = 1}^{\sqrt{n}}d\mu(d)\sum\limits_{i = 1}^{\lfloor\frac{n}{d^2}\rfloor}{\lfloor\frac{n}{i * d^2}}\rfloor i\)

4.杜教篩

求\(f(n) = \sum_{i = 1}^n\phi(i)\)

\(\sum_{i = 1}^{n}\sum_{d | i}\phi(d) = \frac{n(n + 1)}{2} = \sum_{i = 1}^{n}f(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor) = \sum_{i = 1}^n\sum_{d = 1}^{\lfloor\frac{n}{i}\rfloor}\phi(d)\)

4.Calculus

4.1調和級數

\(\sum_{i = 1}^{n}\frac{1}{i}\)在n較大時等於\(ln n + r\), r為0.5772156649015328

5.Others

5.1 皮克定理

給定頂點坐標均是整點的簡單多邊形，面積\(S\)，內部格點\(n\)，邊上格點\(s\)

三者的關系為\(S = n + \frac{s}{2} + 1\)

5.2 冪和

\(\sum\limits_{i = 1}^{n}i = \frac{n(n+1)}{2}\)

\(\sum\limits_{i=1}^{n}i^2 = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}\)

\(\sum\limits_{i=1}^{n}i^3 = [\frac{n(n+1)}{2}]^2\)

$\sum\limits_{i=1}^n i^4 = \frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30} $

\(\sum\limits_{i=1}^{n}i^5 = \frac{n^2(n+1)^2(2n^2+2n-1)}{12}\)

5.3 計算幾何

1.叉積和點積均具有關於向量加減的分配率。

2.多邊形的面積等於所有點逆時針排序以後，相鄰兩個點的向量叉積的結果。

5.4 三角形面積

\(S = a * h / 2\)

\(S = a * b *c / 4r\) : r是外接圓的半徑

\(S = sqrt(p(p - a) * (p - b) *(p - c))\)

5.5 牛頓叠代

\(x^{'} = x - \frac{f(x)}{f^{'}(x)}\)

可以用來逼近\(sqrt(n)\)等.

Math-summary