連續時間信號與離散時間信號之間的關系

下表為各符號的解釋

C/D轉換

從$x_c(t)$到$x[n]$是一個連續到離散的過程，該過程包括以下步驟：

連續信號$x_c(t)$與采樣信號$s(t)$相乘得到采樣值加權的周期脈沖$x_s(t)$，最後再經過一步轉換才能變成離散的采樣序列$x[n]$，這就是一個數學上理想的連續到離散的轉換，記為C/D。

D/C轉換

那麽反過來，從$x[n]$到$x_c(t)$就是一個離散到連續的過程，該過程包括以下步驟：

離散序列$x[n]$轉換成周期為$T$的加權周期脈沖$x_s(t)$，然後就可以按照上一節課所描述的重構方法來得到原連續信號$x_c(t)$，這就是一個數學上理想的離散到連續的轉換，記為$D/C$。

連續信號與離散信號的傅裏葉變換之間的聯系

離散時間序列$x[n]$與連續時間信號$x_c(t)$之間有如下關系

$x[n] = x_c(nT)\ ,\ -\infty<n<\infty$

對$x_s(t)$進行傅裏葉變換可以得到

$\displaystyle{ X_s(j\Omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x_c(nT)e^{-j\Omega T n} = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-j\Omega Tn} }$

對$x[n]$進行離散傅裏葉變換可以得到

$\displaystyle{ X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-j\omega n} }$

對比發現

$\displaystyle{ X_s(j\Omega) = X(e^{j\omega})|_{\omega = \Omega T} = X(e^{j\Omega T})}$

$X(j\Omega)$相當於$X(e^{j\omega})$進行了一個$\omega = \Omega T$的尺度變換，這是因為$x[n]$的離散時間傅裏葉變換的是假設以$1$為周期對信號進行采集的，而這裏實際的采集周期為$T$。

另外我們上一課通過傅裏葉卷積定理得到了一個公式

$\begin{align*}
X_s(j\Omega) &= \frac{1}{T}X_c*Ш_{\frac{2\pi}{T}}\\
&= \frac{1}{T}X_c(j\Omega)*\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta\left(\Omega-\frac{2\pi k}{T}\right)\\
&= \frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X_c\left[j\left( \Omega-\frac{2\pi k}{T} \right )\right ]\quad \delta\ convolution\ theorem\\
&= \frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X_c\left( j\left( \Omega-k\Omega_s \right) \right) \quad letting\ \Omega_s=\frac{2\pi}{T}
\end{align*}$

結合上述結論，可以得到$x[n]$的DTFT為

$\begin{align*} X(e^{j\omega})|_{\omega=\Omega T}
&= X(e^{j\Omega T})\\
&= X(j\Omega) \\
&= \frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X_c\left( j\left( \Omega-k\Omega_s \right) \right) \\
&= \frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X_c\left[ j\left(\frac{\omega}{T}-\frac{2\pi k}{T} \right )\right ] \qquad \left\{\begin{matrix}\Omega &= &\frac{\omega}{T}\\ \Omega_s &= &\frac{2\pi}{T} \end{matrix} \right.\\
\end{align*}$

也就是說，如果對連續函數$x_c(t)$進行周期為$T$的采樣得到離散序列$x[n]$，那麽它們的傅裏葉變換之間就有以下關系

$\color{red}{\begin{align*} X(e^{j\omega})
&= \frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X_c\left[ j\left(\Omega-\frac{2\pi k}{T} \right ) \right ]\\
&= \frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X_c\left[ j\left(\frac{\omega}{T}-\frac{2\pi k}{T} \right )\right ] \qquad \omega=\Omega T
\end{align*}}$

連續時間信號的離散時間處理

在我們生活的世界當中，無論是聲音、光、電等都是連續的信號，而計算機處理的是離散信號，因此一般來說我們都需要先把連續信號轉換成離散信號，計算機對該離散信號進行處理後再重新轉換為連續信號進行輸出。

這裏假設系統以及輸入信號都滿足奈奎斯特采樣定理。接下來，我們主要討論離散時間系統是如何對連續信號產生影響的。

頻率響應

輸出$y_r(t) = \mathcal{F}^{-1}Y_{r}(j\Omega)$，而通過對上圖系統的逆推，我們可以得到以下式子

$\begin{align*}
Y_r(j\Omega)
&= H_r(j\Omega)Y(e^{j\omega}) \qquad lowpass\ filter\ H_r(j\Omega)\ for\ restruction\\
&= H_r(j\Omega)H(e^{j\omega})X(e^{j\omega})\qquad LTI\ system\ frequency\ response\ H(e^{j\omega})\\
&= H_r(j\Omega)H(e^{j\Omega T})\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X_c\left[j\left(\Omega-\frac{2\pi k}{T} \right )\right ] \\
&=\left\{ \begin{matrix} H(e^{j\Omega T})X_c(j\Omega), & |\Omega|<\pi/T\\ 0,& |\Omega|\geqslant \pi/T\end{matrix}\right.
\qquad because\ H_r(j\Omega) = \left\{\begin{matrix}T, & |\Omega|<\pi/T\\ 0, & |\Omega|\geqslant \pi/T \end{matrix}\right.\\
&= H_{eff}(j\Omega)X_c(j\Omega) \qquad H_{eff}(j\Omega) = \left\{ \begin{matrix} H(e^{j\Omega T}), & |\Omega|<\pi/T\\ 0,& |\Omega|\geqslant \pi/T\end{matrix}\right.
\end{align*}$

從該推導的式子可以得到以下結論

對於一個連續時間信號的離散時間處理系統，如果該系統滿足兩個因素：

• 離散時間系統的是LTI系統
• 輸入信號為帶限信號，並且采樣率滿足奈奎斯特采樣定理

則該系統等效於一個連續時間LTI系統，其有效頻率響應為

$\color{red}{H_{eff}(j\Omega) = \left\{ \begin{matrix} H(e^{j\Omega T}), & |\Omega|<\pi/T\\ 0,& |\Omega|\geqslant \pi/T\end{matrix}\right.}$

單位脈沖響應

該等式可以說是指出了離散時間系統的頻率響應$H(e^{j\Omega T})$以及等效連續時間系統的頻率響應$H_c(j\Omega) = H_{eff}(j\Omega)$之間的關系。那麽它們的單位脈沖響應之間又具有怎樣的關系呢？

這裏假設連續時間單位脈沖響應$h_c(t)$與離散時間單位脈沖響應$h[n]$之間有如下關系

$h[n] = h_c(nT)$

那麽有

\begin{align*}
H_{eff}(j\Omega) &= \left\{ \begin{matrix} H(e^{j\Omega T}), & |\Omega|<\pi/T\\ 0,& |\Omega|\geqslant \pi/T\end{matrix}\right.\\
&= \left\{ \begin{matrix} \displaystyle{\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}H_{c}\left[j\left( \Omega-\frac{2\pi k}{T} \right)\right]}, & |\Omega|<\pi/T\\ 0,& |\Omega|\geqslant \pi/T\end{matrix}\right.\qquad assume\ h[n]=h_c(nT)\\
&= \left\{ \begin{matrix} \frac{H_c(j\Omega)}{T}, & |\Omega|<\pi/T\\ 0,& |\Omega|\geqslant \pi/T\end{matrix}\right.\\
\end{align*}

因此我們如果稍作調整，假設

$h[n] = Th_c(nT)$

則能使得$H_{eff}(j\Omega) = H_c(j\Omega),|\Omega|<\pi/T$。

離散時間信號的連續時間處理

這種系統相對來說較為罕見，一般不會用這種方法來實現離散時間系統，不過它提供了對某些離散時間系統的一種有用解釋，如下面的例子，非整數延遲系統。

這裏假設系統以及輸入信號都滿足奈奎斯特采樣定理。因此有

$x_c(t) = \displaystyle{ \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]\frac{sin[\pi(t-nT)/T]}{\pi(t-nT)/T} }$

$y_c(t) = \displaystyle{ \sum_{n=-\infty}^{\infty}y[n]\frac{sin[\pi(t-nT)/T]}{\pi(t-nT)/T} }$

式中，$x[n] = x_c(nT),y[n] = y_c(nT)$。它們在頻域有如下關系（第一小節的結論）

$X_c(j\Omega) = TX(e^{j\Omega T}),\qquad |\Omega|<\pi/T$

$Y_c(j\Omega) = H_c(j\Omega)X_c(j\Omega)$

$Y(e^{j\omega}) = \frac{1}{T}Y_c\left( j\frac{\omega}{T} \right),\qquad |\omega|<\pi$

這三條式子整理後可以得到

$\color{red}{H(e^{j\omega}) = H_c(j\frac{\omega}{T}),\qquad |\omega|<\pi}$

或者可以寫成

$\color{red}{H(e^{j\Omega T}) = H_c(j\Omega),\qquad |\Omega|<\pi/T}$

例子

考慮一個離散時間系統，其頻率響應為

$H(e^{j\omega}) = e^{-j\omega\Delta}$

當$\Delta$是一個整數時，該系統有一個明確的解釋——延遲$\Delta$，即

$y[n] = x[n-\Delta]$

當$\Delta$不是整數時，上面的式子沒有正規意義，也無法通過對$x[n]$移位得到輸出。此時我們可以用本節學習的內容來進行解釋，把該離散時間系統等效為對$x[n]$進行D/C轉換後，進行連續時間處理，然後進行C/D轉換得到輸出。其中的連續時間處理系統的頻率響應為

$H_c(j\Omega) = H(e^{j\Omega T}) = e^{-j\Omega T\Delta}$

通過該頻率響應可以求得，對於連續時間信號$x_c(t)$以及連續時間信號$y_c(t)$，他們具有如下關系

$y_c(t) = x_c(t-T\Delta)$

其中$x_c(t)$是通過對$x[n]$進行內插得到的，在對$x_c(t)$進行$T\Delta$的延遲後得到$y_c(t)$，然後進行周期為$T$的采樣則得到$y[n]$，即

$\begin{align*}
y[n] &=y_c(nT)\\
&= x_c(nT-T\Delta)\\
&= \left.\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[k]\frac{sin[\pi(t-T\Delta-kT)/T]}{\pi(t-T\Delta-kT)/T}\right|_{t=nT}\\
&= \sum_{k=-\infty}^{\infty}x[k]\frac{sin\pi(n-k-\Delta)}{\pi(n-k-\Delta)}\qquad
\end{align*}$

按照卷積的定義，該離散時間系統的單位脈沖響應為

$h[n] = \frac{sin\pi(n-\Delta)}{\pi(n-\Delta)}$

[離散時間信號處理學習筆記] 12. 連續時間信號的離散時間處理以及離散時間信號的連續時間處理