置換群（本蒟蒻瞎BB的）（未完）

群的定義

給定一個集合\(G=\{a, b, c...\}\)和集合\(G\)上的二元運算*，並滿足：

1. 封閉性：\(\forall a, b \in G, \exists c \in G, a*b=c\)。也就是集合裏的元素怎麽亂搞都只能搞出來集合裏的東西。

2. 結合律：\(\forall a, b, c \in G, (a*b)*c=a*(b*c)\)。註意不一定滿足交換律喲。

3. 單位元：\(\exists e \in G, \forall a \in G, a*e=e*a=a\)。也就是說存在一個元素e，任意一個元素和它運算得到它本身。其中e叫做單位元。

4. 逆元：\(\forall a \in G, \exists b \in G, a*b=b*a=e\)

   ，記\(b=a^{-1}\)。也就是說對於任何一個元素，都有另一個元素和它運算得到單位元。由於不一定有交換律，所以還有左右逆元之分。然而在群中左逆元=右逆元。

   證明：\(\forall x \in G,\exists a \in G, ax=e\)，即a是X的左逆元。

   顯然\(\exists b \in G,ba=e\)。也就是說b是a的左逆元。

   那麽\(xa=(ba)(xa)=b(ax)a=ba=e\)（結合律），也就是說a也是x的右逆元。

則稱集合G在運算“*”上是一個群，簡稱G是群。一般a*b簡寫成ab，*可以是任意運算。若G中的元素個數是有限的，則稱G為有限群，否則稱為無限群。有限群的元素個數稱為有限群的階。

群的運算

對於\(g \in G\)，對於G的子集H，定義\(g*H=\{gh \mid h\in H\}\)，即g對H中的每一個元素運算而生成的集合，簡寫為gH。同理，H*G簡寫為Hg，有毒。

對於G的子集A，B，定義\(A*B=\{ab \mid a \in A,b \in B\}\)

對於G的子集H，記\(H^{-1}=\{h^{-1} \mid h \in H\}\)。也就是H的逆就是H中所有元素的逆組成的集合。

定理1：在具有封閉性，結合律，單位元和逆元的二元組(G，*)裏，消去律存在

消去律的定義：對於群中的消去律來說，它的定義是x=y與xa=ya互為充要條件。也就是說等式兩邊可以同時消掉一個相同的量。

證明很簡單，只需要在xa=ya兩邊同時乘以\(a^{-1}\)即可。

定理2：若(G，*)滿足封閉性，結合律，單位元和消去律，則對於任一\(g \in G\)，gG=Gg=G

簡單來說，這個定理的意思是，挑出集合中的一個元素，和集合內所有的元素都搞一遍，搞出來的還是原來那個集合。

證明：根據封閉性，\(gG \subseteq G\)。並且根據定理1的消去律，在gG中不會出現類似於\(xa=ya\ (x, y\in gG)\)這樣的情況（不然違背集合的不重復性），所以\(|gG|=|G|\)。因此，\(gG=G\)。同理可證得\(Gg=G\)。

定理3：在具有封閉性，結合律，單位元和消去律的二元組(G，*)裏，逆元存在

證明：任意取一個G中的元素g，由於gG=G，所以gG中一定含有單位元e。這表明，G中有一個元素，和g運算得到e。所以G中任意元素的逆元都存在。

定理4：若(G, *)是群，H是G的非空子集，並且(H, *)也是群，那麽稱H為G的子群。

根據定理4可以判斷子集是否為一個子群：

1. \(HH=H\)。如果這個條件滿足，說明滿足了封閉性。
2. \(H^{-1}=H\)，即H中的每一個元素都有逆元，並且H中有單位元，因為只有單位元的逆元是單位元。

同時，因為H是G的子集，結合律也是滿足的，所以H也是群，稱為G的子群。

置換

置換的定義

設M是一個非空的有限集合，元素個數為n，M的一個一對一變換稱為一個n元置換。說白了，置換就是對於一種重排列的表示方法。

設\(M={a_1, a_2, ..., a_n}\)，則M的置換\(\sigma\)可簡記為：\(\sigma = \begin{pmatrix} a_1 & a_2...a_n\\b_1 & b_2...b_n \end{pmatrix}\)，\(b_i=\sigma(a_i)\)。考慮一下重排列的個數，易得M的置換有\(n!\)個。若\(\sigma(a_i)=a_i\)，則\(\sigma\)為n元恒等置換。\(S_n\)表示所有n元置換的集合。

舉個栗子：\(\begin{pmatrix} 1,2,3,4 \\ 3,1,2,4 \\ \end{pmatrix}\)，意思是原來在第一位上的元素要跑到第三位去，第二位上的元素要跑到第一位去……以此類推。在這個置換下，1234經過置換就變成了3124，再置換就變成了2314。容易發現置換的列隨意調動，置換本身的含義並不變（第i號元素該跑到哪還是跑到哪），所以一般第一行就是123……n。

當n相等時，置換是可以運算的，稱為置換的連接。規則如下：\(\begin{pmatrix} 1,2,3,...,n \\ a_1,a_2,a_3,...,a_n \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_1,a_2,a_3,...,a_n \\ b_1,b_2,b_3,...,b_n \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1,2,3,...,n \\ b_1,b_2,b_3,...,b_n \\ \end{pmatrix}\)

無論置換怎樣搞來搞去，一定都在\(S_n\)，這是封閉性中。顯然置換的運算是滿足結合律（置換同屬\(S_n\)）的（試著從單個元素的變化去考慮），然而不滿足交換律。同時，\(S_n\)中有單位元，也就是n元恒等置換。任意一個置換在\(S_n\)中都有逆元素，這個逆元素就是原置換兩行調換後的置換。

所以在\(S_n\)中，置換的運算滿足封閉性，結合律，同時單位元和逆元存在。那它，它就是個群啊！

置換群

n元置換的群體作成的集合\(S_n\)對置換的連接作成一個群，稱為n次對稱群（任意子群稱作n次置換群）。

置換群（本蒟蒻瞎BB的）（未完）