1 整除性和帶余除法

1.1 整除

設$a$,$b$均為正數，若存在整數$m$使得$a=m\times b$成立，則成為非零數$b$整除$a$,換而言之，若$b$除$a$沒有余數，則認為$b$整除$a$.表示為$b|a$,同時也稱為：$b$是$a$的一個引子。

（註意，小的能夠整數大的。在用$|$表示的時候，小數在前，大數在後。$m$可正負數都可以，但是不能為0）

因此有如下性質：

1. 若$a|1$,則$a=\pm 1$
2. 若$a|b$且$b|a$,則$a=\pm b$
3. 若$a|b$且$b|c$,則$a|c$,例如$2|4$,$4|8$,那麽$2|8$
4. 對於任意整數$m$,$n$,若$b|g$且$b|h$,那麽$b|(m/times g+ n/times h)$,例如$3|6$,$3|9$,那麽$3|(6n+9
   m)
5. 若$b|g$,那麽就存在$g_1$，使得$g$可以表示為$g=b\times g_1$

1. 2 帶余數除法

對於給定的任意一個正整數$n$和任意非負整數$a$，若用$n$除$a$,得到整數商$q$和整數余數$r$,則滿足：
$a=q\times n +r$, $0 \le r \le n $且$q=\lfloor a|n \rfloor $
其中$\lfloor a|n \rfloor$表示向下取整,例如,$\lfloor 1.9 \rfloor = 1$。
稱為帶余除法。

2 最大公因子

歐幾裏得算法是數論中一個最基本的技巧，用於求兩個正整數的最大公因子。

互素：如果兩個整數只有一個整數的公因子$1$，稱為互素

2.1 最大公因子

最大公因子必須是正數。

當$a=m\times b$時，稱$b$是$a$的一個因子。
使用$d=gcd(a,c)$，稱$d$為$a$和$b$的最大公因子。
定義$gcd(0,0)=0$,$gcd(a,0)=|a|$
如果$c$是$a$和$b$的最大公因子，那麽$a$,$b$的所有因子都是$c$的一個因子。
例如$gcd(30,24)=6$,而$2$,$3$都是$24$和$30$的因子，並且也是$6$的因子。

因為要求最大公因子必須是正數，因此一般來說都是$gcd(|a|,|b|)$

2.1 歐幾裏得算法

歐幾裏得算法的步驟是：

1. 假設求$a$,$b$的最大公因子$d$,並且假設$0 \le b\le a$
2. 使用帶余除法，$b$除$a$可以表示為：$a=b q_1 \times b + r_1$,$0 \le r_1 <b$
3. 當$r_1 =0$時，可知$b$整除$a$,且$a$中不存在比$b$大的因子了。 就比如 $gcd(18,6)$,18 \div 6 =3 $
4. 當$r_1 \neq 0 $ ,那麽一定有$b|r_1$，因為：$d|a$且$d|b$，那麽一定有$d|(a-q_1 \times b)$ .因此$gcd(a,b)=gcd(b,r_1 )$.

3 模運算 $mod$

如果$a$說是一個整數，$n$是一個正整數，那麽我們定義$a \div n$的余數為 $a$ 模$n$。整數$n$稱為模數。

$a=q\times n+ r$ ，$0 \leqr<n; q=\lfloor a \div n \rfloor$等價於 $a=\lfloor a \div n \rfloor \times n + (a mod n)$

3.1 同余性質

如果$(a mod n = (b mod n))$，則稱整數$a$,$b$是模$n$同余的。可以表示為$a \equiv b(mod n)$,其含義還有：$a(mod b) = a\times (a mod b)$。其意思就是 $a$和$b$對$n$取模的結果相同

1. 若$n|(a-b)$，則$a \equiv b(mod n)$.因此等價於：$a \equiv b \times (b mod n)$
2. 若$a\equiv b(mod n)$，則有$b \equiv a(mod n)$ .對稱？
3. 若$a\equiv b(mod n)$，$b \equiv c(mod n)$，則有$a \equiv c(mod n)$

3.2 模運算

運算符 $mod$ 將所有的整數映射到集合${0,1,2\ldots n-1}$.
模運算具有如下的性質：

1. $[(a mod n)+(b mod \n)] mod n=(a+b) mod n$
2. $[(a mod n)-(b mod \n)] mod n=(a-b) mod n$
3. $[(a mod n)\times (b mod \n)] mod n=(a\timesb) mod n$

也就是說除了除法以外都滿足結合律。但是註意，不是簡單的結合律！

加法逆元：就是相反數
乘法逆元：乘法逆元，是指數學領域群$G$中任意一個元素$a$，都在$G$中有唯一的逆元$a‘$，具有性質$a×a‘=a‘×a=e$，其中$e$為該群的單位元。
例如：$4 \times X \equiv 1 mod 7$ 就是$4 \times X = 7\times k +1$

另外有如下的性質：

1. 滿足加法和乘法交換律： $(w+x) mod n = (x+w) mod n$,乘法也滿足
2. 滿足加法和乘法的結合律：$(x\times y\times z) mod \n n=(x\times (y\times x)) mod n$
3. 滿足分配律：$(x\times (y+z)) mod n = (x\times y+x\times z) mod n$
4. 單位元：加$0$或乘$1$不改變結果

剩余類，使用$[m]$表示一個集合,意思是該集合內所有的數(包含正負數)，對$n$取模的結果相同。

4 素數

或是質數
數論的核心是素數：當一個整數$p>1$,他的因子只有$\pm 1$和$\pm p$時，成這個數為素數.
任意一個數都可以分解為：$a=p_1^{a_1}+p_2^{a_2}+p_3^{a_3}+\dots +p_m^{a_m}$。也就是多個素數的成績形式。
從這個角度來解釋整除，其所含有的素數相同(次數可能不同)
從這個角度來解釋最大公因子，則是兩個數都含有的最大的那個素數。

5 費馬定理和歐拉函數

5.1 費馬定理

若$p$是素數，$a$是整數，且不能被$p$整除（a中不含素數$p$），那麽：
$a^{p-1} \equiv 1( mod p)$
就是說，對$p$取模，結果是1.
而更一般的形式是：
$a^{p} \equiv a( mod p)$

5.2 歐拉函數

歐拉函數：$\phi(n)$只的是小於$n$且與$n$互素的正整數的個數。其中$\phi(1)=1$
因此，如果$p$是素數，那麽$\phi(p)=p-1$：因為，素數與任何數都互素，而小於$p$的有$p-1$個
且，滿足$\phi(p_1 \times p_1) = (p_1 -1)\times (p_2 -1)$.

對於任意兩個互素的$p_1$和$p_2$,有：$p_1^{\phi(p_2)} \equiv 1( mod p_1)$，其實是費馬定理的特別形式，也就是說底數也是一個素數。
因此也可以表示為：$p_1^{\phi(p_2)+1} \equiv p_1 ( mod p_2)$

6 素數測試

很多密碼算法需要隨機選取一個或是多個非常大的叔叔，因此需要一個能確定給定的大數是否是素數的方法。

跳過。

7 中國剩余定理

問題：找出所有的整數$x$,它們被$3$，$5$，$7$整除時余數分別為$2$，$3$，$2$，那所有解的形式為$23+105\times k$
// 定義：令$a=p_1 \times p_2 \times \dots \times \p_n$,其中因子$p_i$兩兩互素

中國余數定理的用途之一是：給出了是模$M$的大數運算轉化為相對較小數的運算。

第二章 數論基礎（未完）