題目大意

　　給你一棵有根樹，有\(n\)個點。還有一個參數\(k\)。你每次要刪除一條長度為\(k\)（\(k\)個點）的祖先-後代鏈，問你最少幾次刪完。現在有\(q\)個詢問，每次給你一個\(k\)，問你答案是多少。

　　\(n\leq {10}^5,k\leq {10}^9\)

題解

　　設\(l\)為這棵樹的葉子個數，顯然當\(k>\)樹的深度時答案都是\(l\)。

　　下面要證明：答案是\(O(l+\frac{n-l}{k})\)的。

　　我們從下往上貪心，每次選擇一個未被覆蓋的深度最深的點，覆蓋這個點網上的一條鏈。我們把這些選擇的點稱為關鍵點。把所有關鍵點到父親的連邊斷開。

　　包含根的那個連通塊和葉子節點的貢獻是\(O(l)\)

　　對於其他連通塊，顯然深度最深的點到關鍵點的距離是\(k-1\)，所以連通塊的大小不小於\(k\)。又因為每個連通塊只有一個關鍵點，所以這部分的貢獻是\(O(\frac{n-l}{k})\)的。

　　對於每個\(k\)，從葉子節點的上一層關鍵點開始暴力做就行了。查詢一個點是否被覆蓋就用DFS序+線段樹（查詢這個點的子樹深度最淺的點深度是多少）。

　　時間復雜度：\(O(n\log^2 n)\)（調和級數求和再加上數據結構的\(\log\)）

代碼

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
 

#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<utility>
#include<cmath>
#include<functional>
#include<queue>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pii;
typedef pair<ll,ll> pll;
void sort(int &a,int
 
 &b)
{
    if(a>b)
        swap(a,b);
}
void open(const char *s)
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
    char str[100];
    sprintf(str,"%s.in",s);
    freopen(str,"r",stdin);
    sprintf(str,"%s.out",s);
    freopen(str,"w",stdout);
#endif
}
int rd()
{
    int s=0,c;
    while((c=getchar())<'0'||c>'9');
    do
    {
        s=s*10+c-'0';
    }
    while((c=getchar())>='0'&&c<='9');
    return s;
}
void put(int x)
{
    if(!x)
    {
        putchar('0');
        return;
    }
    static int c[20];
    int t=0;
    while(x)
    {
        c[++t]=x%10;
        x/=10;
    }
    while(t)
        putchar(c[t--]+'0');
}
int upmin(int &a,int b)
{
    if(b<a)
    {
        a=b;
        return 1;
    }
    return 0;
}
int upmax(int &a,int b)
{
    if(b>a)
    {
        a=b;
        return 1;
    }
    return 0;
}
vector<int> g[100010];
int f[100010][20];
int st[100010];
int ed[100010];
int d[100010];
int ti;
int maxd;
int leaves;
int s[100010];
vector<int> c[100010];
void dfs(int x,int fa,int dep)
{
    maxd=max(maxd,dep);
    f[x][0]=fa;
    d[x]=dep;
    st[x]=++ti;
    int i;
    for(i=1;i<=17;i++)
        f[x][i]=f[f[x][i-1]][i-1];
    int num=0;
    s[x]=0x7fffffff;
    for(auto v:g[x])
        if(v!=fa)
        {
            dfs(v,x,dep+1);
            s[x]=min(s[x],s[v]+1);
            num++;
        }
    if(!num)
    {
        s[x]=0;
        leaves++;
    }
    ed[x]=ti;
}
int jump(int x,int d)
{
    int i;
    for(i=17;i>=0;i--)
        if(d&(1<<i))
            x=f[x][i];
    return x;
}
namespace seg
{
    int ls[200010];
    int rs[200010];
    int s[200010];
    int rt,n;
    void add(int &p,int x,int v,int l,int r)
    {
        if(!p)
        {
            p=++n;
            ls[p]=rs[p]=0;
            s[p]=0x7fffffff;
        }
        if(l==r)
        {
            s[p]=v;
            return;
        }
        int mid=(l+r)>>1;
        if(x<=mid)
            add(ls[p],x,v,l,mid);
        else
            add(rs[p],x,v,mid+1,r);
        s[p]=0x7fffffff;
        if(ls[p])
            upmin(s[p],s[ls[p]]);
        if(rs[p])
            upmin(s[p],s[rs[p]]);
    }
    int query(int p,int L,int R,int l,int r)
    {
        if(!p)
            return 0x7fffffff;
        if(L<=l&&R>=r)
            return s[p];
        int res=0x7fffffff;
        int mid=(l+r)>>1;
        if(L<=mid)
            upmin(res,query(ls[p],L,R,l,mid));
        if(R>mid)
            upmin(res,query(rs[p],L,R,mid+1,r));
        return res;
    }
}
struct cmp
{
    int operator ()(int a,int b) const
    {
        return d[a]<d[b];
    }
};
priority_queue<int,vector<int>,cmp> q;
int ans[100010];
int k;
int main()
{
    open("a");
    int n;
    scanf("%d",&n);
    int i,x,y;
    for(i=1;i<n;i++)
    {
        scanf("%d%d",&x,&y);
        g[x].push_back(y);
        g[y].push_back(x);
    }
    dfs(1,0,1);
    for(i=1;i<=n;i++)
        c[s[i]].push_back(i);
    for(i=1;i<maxd;i++)
    {
        k=i;
        int res=leaves;
        for(auto v:c[i])
            q.push(v);
        seg::rt=seg::n=0;
        while(!q.empty())
        {
            x=q.top();
            q.pop();
            if(s[x]<=k-1)
                continue;
            if(seg::query(seg::rt,st[x],ed[x],1,n)<=d[x]+k-1)
                continue;
            seg::add(seg::rt,st[x],d[x],1,n);
            res++;
            if(d[x]>k)
                q.push(jump(x,k));
        }
        ans[i]=res;
    }
    int q;
    scanf("%d",&q);
    while(q--)
    {
        scanf("%d",&x);
        if(x>=maxd)
            printf("%d\n",leaves);
        else
            printf("%d\n",ans[x]);
    }
    return 0;
}

【XSY2667】摧毀圖狀樹 貪心 堆 DFS序 線段樹