題目描述

　　給你\(n,k,a_1\ldots a_n\)，設
\[ ans_n=\sum_{i=1}^n{(\sum_{j=i}^ns(j))}^k\\]
　　求\(ans_1\ldots ans_n\)

　　對\({10}^9+7\)取模

　　\(n\leq 50000,k\leq 100\)

題解

　　大水題

　　這題就是在搞笑

　　題解的做法是\(O(nk\log k)\)的

　　隨便推推就能推出\(O(nk)\)的做法
\[ \begin{align} ans_n&=\sum_{i=1}^n{(\sum_{j=i}^ns(j))}^k\&=\sum_{i=1}^n{(s_n-s_{i-1})}^k\&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=0}^k{s_n}^{j}{s_{i-1}}^{k-j}{(-1)}^{k-j}\binom{k}{j}\&=\sum_{i=0}^k{s_n}^i{(-1)}^{k-i}\binom{k}{i}\sum_{j=1}^n{s_{j-1}}^{k-i} \end{align} \]

　　維護最後那項即可。

　　時間復雜度：\(O(nk)\)

代碼

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll p=1000000007;
ll c[110][110];
ll a[50010];
ll s[50010];
ll b[50010];
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("xsy2032.in","r",stdin);
    freopen("xsy2032.out"
 
,"w",stdout);
#endif
    int n,k;
    scanf("%d%d",&n,&k);
    int i,j;
    memset(c,0,sizeof c);
    for(i=0;i<=k;i++)
    {
        c[i][0]=1;
        for(j=1;j<=i;j++)
            c[i][j]=(c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%p;
    }
    b[0]=1;
    s[0]=1;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("
 
%lld",&a[i]);
        a[i]=(a[i]+a[i-1])%p;
        for(j=1;j<=k;j++)
            b[j]=b[j-1]*a[i]%p;
        ll ans=0;
        for(j=0;j<=k;j++)
            ans=(ans+b[j]*s[k-j]%p*c[k][j]%p*((k-j)&1?-1:1))%p;
        ans=(ans+p)%p;
        printf("%lld\n",ans);
        for(j=0;j<=k;j++)
            s[j]=(s[j]+b[j])%p;
    }
    return 0;
}

【XSY2032】簡單粗暴的題目 組合數