差分約束

差分約束是解決這樣一類問題

給出\(n\)個形如\(x[j]-x[i]<=k\)的式子，求\(x[n]-x[1]\)的最大/最小值

思路

其實這個問題是挺套路的

我們把給出的式子變一下

\(x[j]-x[i]<=k\)

\(x[j]<=x[i]+k\)

我們不難聯想到圖論中最短路的性質

假設\(d[x]\)表示\(1\)到\(x\)的最短路

那麽對於任意一條邊\((u,v)\)

有\(d[v]<=d[u]+k\)（k表示邊權）

可能有些抽象，舉個例子

經過計算不難得到三個不等式

  1.(3)                 x3 - x0 <= 8
  2.(2) + (5)           x3 - x0 <= 9
  3.(1) + (4) + (5)     x3 - x0 <= 7
 

這樣的話，我們在滿足條件的情況下\(x[3]-x[0]\)最大為\(7\)

我們按上面的方法建出圖

不難發現圖中的最短路就是我們想要的答案！

難道這是巧合麽?

肯定不是。仔細觀察不難發現，我們連邊的過程其實就是在轉換不等式，求最短路其實就是求最小的限制條件。這樣求出來的最短路即為滿足條件的最大值

總結

這玩意兒其實挺套路的

如果你找出了題目中的限制條件，直接建圖就好

最大值—>把所有式子整理為\(x[j]-x[i]<=k\)，從\(i\)向\(j\)連一條邊權為\(k\)的邊，跑最短路

最小值—>把所有式子整理為\(x[j]-x[i]>=k\)，從\(i\)向\(j\)

在求解的時，因為經常要判斷負環，所以選用SPFA算法

當一個點的入隊次數超過\(n\)時必定出現負環

例題

幾道水題

POJ1201

POJ1275

HDU3440

還有兩道\(n\)年以前做的，沒寫題解

洛谷P1993

洛谷P3275

淺談差分約束問題