二項式定理與楊輝三角

阿新 • • 發佈：2018-03-10

一個 sub ali 組合數 pro a + b http 它的內部

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

(a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 6ab³ + b⁴

(a + b)⁵ = a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵

(a + b)⁶ = a⁶ + 6a⁵b + 15a⁴b² + 20a³b³ + 15a²b⁴ + 6ab⁵ + a⁶

… …

(a + b)ⁿ = ?

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在二項式 (a + b)ⁿ 中，每一單項式的次數和都等於n，把每一項的系數列出來，可以得到一個楊輝三角

：三角形左邊和右邊的數字全都是1，而內部的每一個數字都是連接到它的上端的兩個數字之和。內部的數字究竟還有其他什麽特征？

n次冪對應的項數共有 n + 1 項，而且每一行的數字都是對稱的。從外往內看，每一行順數和倒數的第2個數字都是n，_nC₁ = _nC_n_–1 = n

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順數和倒數的第3個數字都 _nC₂ = _nC_n_–2

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… …

所以楊輝三角又可以表示為以下形式

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左邊上的“1”實際是_nC₀，左邊上的“1”實際是_nC_n，每一行的第k項的系數都是_nC_n_–k+1。從左向右排列為：

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用組合解釋如下：(a + b)ⁿ就是n個 (a + b) 相乘，每個(a + b) 相乘時有兩種選擇，選a或b，而且每個(a + b)中的a或b都選定後，才能得到展開式的一項。

把n個 (a + b) 中的所有的a相乘，得到aⁿ ；

把n個 (a + b) 中的 (n – 1) 個a與剩下的最後一個 (a + b) 中的b相乘，得到aⁿ^–1b ；

把n個 (a + b) 中的 (n – 2) 個a與剩下的最後兩個(a + b) 中的b相乘，得到a^n–2b² ；

… …

把n個 (a + b) 中的 (n – k) 個a與剩下的k個(a + b) 中的b相乘，得到a^n–k

b^k ；

… …

把n個 (a + b) 中的所有的b相乘，得到bⁿ ；

a^n–kb^k出現的次數 = n個(a + b) 中取k個b的組合數_nC_k

把(a + b)ⁿ展開得到

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這就是二項式定理（Binomial Theorem）。

二項式定理與楊輝三角

一個 sub ali 組合數 pro a + b http 它的內部 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 6ab3 + b4

楊輝三角與二項式定理

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