靜態主席樹總結(靜態區間的ｋ大)

首先我們先來看一道題

給定N個正整數構成的序列，將對於指定的閉區間查詢其區間內的第K小值。       輸入格式：
第一行包含兩個正整數N、M，分別表示序列的長度和查詢的個數。
第二行包含N個正整數，表示這個序列各項的數字。
接下來M行每行包含三個整數 l, r, kl,r,k , 表示查詢區間[l, r][l,r]         內的第k小值。
輸出格式：
輸出包含k行，每行1個正整數，依次表示每一次查詢的結果

對於100%的數據滿足：\(1 \leq N, M \leq 2\cdot 10^5\) \(1≤N,M≤2?10^5\)
對於數列中的所有數\(a_i\)

基本思路

這個題目看上去很像一道線段樹或者樹狀數組之類的裸題，但是仔細想想，區間第\(k\)小是線段樹等數據結構維護不了的，這個時候，我們就需要引進一種新的數據結構，就是可持久化線段樹，也就是主席樹。(可持久化數據結構是可以訪問歷史版本的，這裏也可以做到，但是這裏不需要訪問歷史版本，我們只利用可持久化數據結構的思想)
主席樹的本質上是N顆值域線段樹利用可持久化數據結構的思想儲存起來(不知道值域線段樹的請自行轉走)，對於每一顆線段樹我們都維護從序列開始到這個元素的值域(即第\(i\)顆線段樹維護的區間是第一號元素到第\(i\)號元素的值域)。
但實際上我們沒有那麽多時間和空間去維護\(n\)

註意要離散化
實現過程
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構建

我們先開一個root數組來保存每一顆線段樹的根，對於每一個線段樹的節點記錄它的值，左兒子和右兒子的編號，在構建第i顆線段樹時，我們要同時訪問第i-1顆線段樹，每次構建一個節點之後，對於不包含這個新增值的兒子我們就直接將第i-1顆線段樹的相應的那個兒子作為第i顆線段樹的這個兒子。

比如說，假設離散化之後的值域是1~5，第i號元素是1,我們先構建根節點，然後發現這個節點左兒子的值域是1~2,右兒子的值域是3~5，右兒子的值域不包括1,所以右兒子就直接用第i-1顆線段樹的右兒子，而此時我們就新建一個節點作為這個節點的左兒子，值為第i-1顆線段樹的左兒子的值+1。

    int modify(int l,int r,int x,int k)
    {
        //x表示上一顆線段樹當前節點的標號
        //k表示需要新增的元素
        int y=++cnt;//新建當前節點，y位編號
        t[y]=t[x];//將上一顆線段樹的節點的信息傳遞給當前節點
        t[y].x++;/*因為不包含k的節點不會被訪問，所以實質上只要被訪問過的節點都要加1*/
        if(l==r)return y;
        int mid=(l+r)>>1;
        if(k<=mid)t[y].l=modify(l,mid,t[x].l,k);
        else t[y].r=modify(mid+1,r,t[x].r,k);/*根據k值修改左右兒子信息*/
        return y;//將當前節點的編號號返回上一層
    }

查詢

主席樹的查詢跟值域線段樹的查詢差不多，值域線段樹的查詢大家都會吧，我這裏就不再贅述，不過，主席樹每次需要同時查詢兩顆線段樹，如果我們需要查詢\([l,r]\)閉區間中第\(k\)小的值，我們就查詢第\(l-1\)顆線段樹和第\(r\)顆線段樹的信息，由於所有線段樹維護的值域完全一樣，所以我們可以用第r顆線段樹詢問到的值減去第\(l-1\)顆線段樹的值，就可以得出\([l,r]\)閉區間的值。(註意：你查詢到的是離散之後的值，你需要輸出的是離散之前的值)

具體實現過程

    int query(int l,int r,int la,int no,int k)
    {
        //la,no,分別表示你要查詢的兩顆線段樹的相應節點編號
        if(l==r)return l;/*如果節點內只有一個值，這就是第k大，直接返回*/
        int l1=t[la].l,l2=t[no].l,r1=t[la].r,r2=t[no].r;
        //l1,r1,l2,r2分別表示這兩個節點的左右兒子。
        int s=t[l2].s-t[l1].s  ,  mid=(l+r)>>1;
        if(s>=k)return query(l,mid,l1,l2,k);
        else return query(mid+1,r,r1,r2,k-s);
    }

代碼

    #include<bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    inline int gi()
    {
        char a=getchar();int b=0;
            while(a<‘0‘||a>‘9‘)a=getchar();
        while(a>=‘0‘&&a<=‘9‘)b=b*10+a-‘0‘,a=getchar();
        return b;
    }
    const int N=1e6+20;
    struct ljq
    {
        int x,id;
    }b[N];
    struct tree
    {
       int l,r,s;
    }t[N*5];
    int cmp(ljq x,ljq y){return x.x<y.x;}
    int a[N],p[N],root[N],n,m,cnt;
    void work1()
    {
        n=gi();m=gi();
        for(int i=1;i<=n;++i)
            b[i].x=gi(),b[i].id=i;
        sort(b+1,b+n+1,cmp);
        b[0].x=-2e9;
        for(int s=0,i=1;i<=n;++i)
        {
            if(b[i].x!=b[i-1].x)p[++s]=b[i].x;
            a[b[i].id]=s;
        }
    }
    void bt(int l,int r,int x)
    {
        if(l==r)return;
        int mid=(l+r)>>1;
        t[x].l=++cnt;
        t[x].r=++cnt;
        bt(l,mid,t[x].l);
        bt(mid+1,r,t[x].r);
    }
    void work2(int l,int r,int la,int no,int x)
    {
        t[no].s=t[la].s+1;
        if(l==r)return;
        int mid=(l+r)>>1;
        t[no].l=t[la].l;
        t[no].r=t[la].r;
        if(x<=mid)
        {
            t[no].l=++cnt;
            work2(l,mid,t[la].l,t[no].l,x);
        }
        else
        {
            t[no].r=++cnt;
            work2(mid+1,r,t[la].r,t[no].r,x);
        }
    }/*這個構建主席樹的實現過程和上面略有不同，上面的更方便，是我在打帶修改的主席樹的時候寫的，這裏我懶得改了，僅做參考*/
    int query(int l,int r,int la,int no,int k)
    {
        if(l==r)return l;
        int l1=t[la].l,l2=t[no].l,r1=t[la].r,r2=t[no].r;
        int s=t[l2].s-t[l1].s,mid=(l+r)>>1;
        if(s>=k)return query(l,mid,l1,l2,k);
        else return query(mid+1,r,r1,r2,k-s);
    }
    int main()
    {
        work1();
        root[0]=++cnt;
        bt(1,n,1);
        for(int i=1;i<=n;++i)
        {
            root[i]=++cnt;
            work2(1,n,root[i-1],root[i],a[i]);
        }
        while(m--)
        {
            int l=gi(),r=gi(),k=gi();
            int x=query(1,n,root[l-1],root[r],k);
            printf("%d\n",p[x]);
        }
        return 0;
    }

靜態主席樹總結(靜態區間的ｋ大)