Wannafly挑戰賽12 D矩陣計數

• 題意：給一個n x m的01矩陣，其中C個格子是1，其余全是0。求有多少全0的子矩陣。
  答案對\(10^9+7\)取模。

• 思路：首先，全0的子矩陣=所有子矩陣-含1的子矩陣， 我們只需要對所有的值為1的格子，求出包含這個點的子矩陣數量\(s_i\)（還要保證不重復計數），那麽\(ans = \sum_{i=1}^{C}s_i\)

• 如何求\(s_i\)：

  • 首先來看一個例子，如圖：
    

  • 對於所有值為1的格子，我們先排序(先按x軸再按y軸排)，對於上圖中的第一個點(2, 2)，先計算包含這個點的所有子矩陣，顯然是\((x-1+1)*(y-1+1)*(n-x)*(m-y+1)=2*2*4*4=64\)
    ,(x-1+1),(y-1+1),(n-x),(m-y+1)分別代表這個點距上邊界，左邊界，下邊界，右邊界的距離；

  • 再看第二個點， 由於要保證不會重復計數，計算\(s_2\)時不能包含第一個點，所以需要計算的部分如下圖：
    

  • 第三個點：
    

  • 總結：對於每個點，我們可以找到它再每一行可以拓展到的最大左右區間，然後乘以這個區間的高度和這個點到最後一行的距離，然後求和即是我們要求的\(s_i\)。

• Code:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 5005;
const
 
 ll mod = 1e9+7;
int n, m, c;
struct P{
    int x, y;
    P() {}
    P(int x, int y): x(x), y(y) {}
    bool operator < (const P &t) const {
        return x == t.x ? y < t.y : x < t.x;
    }
} p[maxn];
 
int main() {
    while(~scanf("%d %d %d", &n, &m, &c)) {
        for
 
(int i = 1; i <= c; i++) {
            scanf("%d %d", &p[i].x, &p[i].y);
        }
        sort(p + 1, p + c + 1);
        ll ans = 0;
        for(int i = 1; i <= c; i++) {
            for(int j = i - 1, l = 1, r = m; j >= 0; j--) {
                if(p[j+1].x != p[j].x) ans=(ans+(n-p[i].x+1LL)%mod*(r-p[i].y+1)%mod*(p[i].y-l+1)%mod*(p[j+1].x-p[j].x)%mod)%mod;
                if(p[j].y < p[i].y) l = max(l, p[j].y+1);
                if(p[j].y > p[i].y) r = min(r, p[j].y-1);
            }
        }
        printf("%lld\n", ((n*(n+1LL)/2)%mod*((m*(m+1LL)/2)%mod)%mod-ans+mod) % mod);
    }
    return 0;
}

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