4873: [Shoi2017]壽司餐廳

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Description

Kiana最近喜歡到一家非常美味的壽司餐廳用餐。每天晚上，這家餐廳都會按順序提供n種壽司，第i種壽司有一個 代號ai和美味度di,i，不同種類的壽司有可能使用相同的代號。每種壽司的份數都是無限的，Kiana也可以無限次 取壽司來吃，但每種壽司每次只能取一份，且每次取走的壽司必須是按餐廳提供壽司的順序連續的一段，即Kiana 可以一次取走第1,2種壽司各一份，也可以一次取走第2,3種壽司各一份，但不可以一次取走第1,3種壽司。由於餐 廳提供的壽司種類繁多，而不同種類的壽司之間相互會有影響：三文魚壽司和魷魚壽司一起吃或許會很棒，但和水 果壽司一起吃就可能會肚子痛。因此，Kiana定義了一個綜合美味度di,j(i<j)，表示在一次取的壽司中，如果包含 了餐廳提供的從第i份到第j份的所有壽司，吃掉這次取的所有壽司後將獲得的額外美味度。由於取壽司需要花費一 些時間，所以我們認為分兩次取來的壽司之間相互不會影響。註意在吃一次取的壽司時，不止一個綜合美味度會被 累加，比如若Kiana一次取走了第1,2,3種壽司各一份，除了d1,3以外，d1,2,d2,3也會被累加進總美味度中。神奇 的是，Kiana的美食評判標準是有記憶性的，無論是單種壽司的美味度，還是多種壽司組合起來的綜合美味度，在 計入Kiana的總美味度時都只會被累加一次。比如，若Kiana某一次取走了第1,2種壽司各一份，另一次取走了第2,3 種壽司各一份，那麽這兩次取壽司的總美味度為d1,1+d2,2+d3,3+d1,2+d2,3，其中d2,2只會計算一次。奇怪的是， 這家壽司餐廳的收費標準很不同尋常。具體來說，如果Kiana一共吃過了c(c>0)種代號為x的壽司，則她需要為這些 壽司付出mx^2+cx元錢，其中m是餐廳給出的一個常數。現在Kiana想知道，在這家餐廳吃壽司，自己能獲得的總美 味度（包括所有吃掉的單種壽司的美味度和所有被累加的綜合美味度）減去花費的總錢數的最大值是多少。由於她 不會算，所以希望由你告訴她

Input

第一行包含兩個正整數n,m，分別表示這家餐廳提供的壽司總數和計算壽司價格中使用的常數。 第二行包含n個正整數，其中第k個數ak表示第k份壽司的代號。 接下來n行，第i行包含n-i+1個整數，其中第j個數di,i+j-1表示吃掉壽司能 獲得的相應的美味度，具體含義見問題描述。 N<=100,Ai<=1000

Output

輸出共一行包含一個正整數，表示Kiana能獲得的總美味度減去花費的總錢數的最大值。

Sample Input

3 1
2 3 2
5 -10 15
-10 15
15

Sample Output

12
【樣例1說明】

在這組樣例中，餐廳一共提供了3份壽司，它們的代號依次為a1=2，a2=3，a3=2，計算價格時的常數m=1。在保證每
次取壽司都能獲得新的美味度的前提下，Kiana一共有14種不同的吃壽司方案：
1.Kiana一個壽司也不吃，這樣她獲得的總美味度和花費的總錢數都是0，兩者相減也是0；
2.Kiana只取1次壽司，且只取第1個壽司，即她取壽司的情況為{[1,1]}，這樣獲得的總美味度為5，花費的總錢數
為1-2^2+1*2=6，兩者相減為-1；
3.Kiana只取1次壽司，且只取第2個壽司，即她取壽司的情況為{[2,2]}，這樣獲得的總美味度為-10，花費的總錢
數為1-3^2+1*3=12，兩者相減為-22；

4.Kiana只取1次壽司，且只取第3個壽司，即她取壽司的情況為{[3,3]}，這樣獲得的總美味度為15，花費的總錢數
為1*2^2+1*2=6，兩者相減為9；
5.Kiana只取1次壽司，且取第1,2個壽司，即她取壽司的情況為{[1,2]}，這樣獲得的總美味度為5+(-10)+(-10)=-1
5，花費的總錢數為(1-2^2+1*2)+(1-3^2+1*3)=18，兩者相減為-33；
6.Kiana只取1次壽司，且取第2,3個壽司，即她取壽司的情況為{[2,3]}，這樣獲得的總美味度為(-10)+15+15=20，
花費的總錢數為(1-2^2+1*2)+(1*3^2+1*3)=18，兩者相減為2；
7.Kiana只取1次壽司，且取第1,2,3個壽司，即她取壽司的情況為{[1,3]}，這樣獲得的總美味度為5+(-10)+15+(-1
0)+15+15=30，花費的總錢數為(1*2^2+2*2)+(1*3^2+1*3)=20，兩者相減為10。
8.Kiana取2次壽司，第一次取第1個壽司，第二次取第2個壽司，即她取壽司的情況為{[1,1],[2,2]}，這樣獲得的
總美味度為5+(-10)=-5，花費的總錢數為(1*2^2+1*2)+(1*3^2+1*3)=18，兩者相減為-23；
9.Kiana取2次壽司，第一次取第1個壽司，第二次取第3個壽司，即她取壽司的情況為{[1,1],[3,3]}，這樣獲得的
總美味度為5+15=20，花費的總錢數為1*2^2+2*2=8，兩者相減為12；
10.Kiana取2次壽司，第一次取第2個壽司，第二次取第3個壽司，即她取壽司的情況為{[2,2],[3,3]}，這樣獲得的
總美味度為(-10)+15=5，花費的總錢數為(1*2^2+1*2)+(1*3^2+1*3)=18，兩者相減為-13；
11.Kiana取2次壽司，第一次取第1,2個壽司，第二次取第3個壽司，即她取壽司的情況為{[1,2],[3,3]}，這樣獲得
的總美味度為5+(-10)+(-10)+15=0，花費的總錢數為(1*2^2+2*2)+(1*3^2+1*3)=20，兩者相減為-20；
12.Kiana取2次壽司，第一次取第1個壽司，第二次取第2,3個壽司，即她取壽司的情況為{[1,1],[2,3]}，這樣獲得
的總美味度為5+(-10)+15+15=25，花費的總錢數為(1-22+2-2)+(1-32+1-3)=20，兩者相減為5；
13.Kiana取2次壽司，第一次取第1,2個壽司，第二次取第2,3個壽司，即她取壽司的情況為{[1,2],[2,3]}，這樣獲
得的總美味度為5+(-10)+15+(-10)+15=15，花費的總錢數為(1*2^2+2*2)+(1*3^2+1*3)=20，兩者相減為-5；
14.Kiana取3次壽司，第一次取第1個壽司，第二次取第2個壽司，第三次取第3個壽司，即她取壽司的情況為{[1,1]
,[2,2],[3,3]}，這樣獲得的總美味度為5+(-10)+15=10，花費的總錢數為(1*2^2+2*2)+(1*3^2+1*3)=20，兩者相減
為-10。
所以Kiana會選擇方案9，這時她獲得的總美味度減去花費的總錢數的值最大為12。

HINT

Source

黑吉遼滬冀晉六省聯考

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挺簡單的最大權閉合子圖模型，我怎麽就沒有看出來呢？

首先將d[][]看成一個右上三角矩陣，那麽如果d[i][j]有貢獻，那麽d[i+1][j]和d[i][j-1]都必然有貢獻。

考慮付費情況，每個位置建一個點i‘，d[i][j]向i‘和j‘連邊，i‘，j‘ 向T連各自費用的邊。對於$mx^2$的部分，對每個編號再建一個新點bel，i‘向bel[a[i]]連邊。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define rep(i,l,r) for (int i=l; i<=r; i++)
#define For(i,x) for (int i=h[x],k; i; i=nxt[i])
using namespace std;

const int N=30100,M=2000100,inf=0x3f3f3f3f;
int to[M],nxt[M],f[M],h[N],q[M],d[N],mp[110][110],id[110][110],bel[1010];
int n,m,S,T,ans,cnt=1,tot,a[N],vis[1010];

void add(int u,int v,int w){
    to[++cnt]=v; nxt[cnt]=h[u]; f[cnt]=w; h[u]=cnt;
    to[++cnt]=u; nxt[cnt]=h[v]; f[cnt]=0; h[v]=cnt;
}

bool bfs(){
    memset(d,0,sizeof(d)); q[1]=S; d[S]=1;
    for (int st=0,ed=1; st!=ed; ){
        int x=q[++st];
        For(i,x) if (!d[k=to[i]] && f[i])
            d[k]=d[x]+1,q[++ed]=k;
    }
    return d[T];
}

int dfs(int x,int lim){
    if (x==T) return lim;
    int c=0;
    For(i,x) if (f[i] && d[k=to[i]]==d[x]+1){
        int t=dfs(k,min(f[i],lim-c));
        c+=t; f[i]-=t; f[i^1]+=t;
        if (c==lim) return lim;
    }
    if (!c) d[x]=-1;
    return c;
}

int dinic(){ int res=0; while (bfs()) res+=dfs(S,inf); return res;}

void build(){
    S=0;
    rep(i,1,n) rep(j,i,n) id[i][j]=++tot;
    rep(i,1,n) if (!vis[a[i]]) vis[a[i]]=1,bel[a[i]]=++tot;
    T=tot+n+1;
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    rep(i,1,n) if (!vis[a[i]]) vis[a[i]]=1,add(bel[a[i]],T,m*a[i]*a[i]);
    rep(i,1,n) add(tot+i,bel[a[i]],inf),add(tot+i,T,a[i]);
    rep(i,1,n) rep(j,i,n){
        add(id[i][j],tot+i,inf),add(id[i][j],tot+j,inf);
        if (mp[i][j]>0) ans+=mp[i][j],add(S,id[i][j],mp[i][j]);
            else if (mp[i][j]<0) add(id[i][j],T,-mp[i][j]);
        if (i!=j) add(id[i][j],id[i+1][j],inf),add(id[i][j],id[i][j-1],inf);
    }
}

int main(){
    freopen("sushi.in","r",stdin);
    freopen("sushi.out","w",stdout);
    scanf("%d%d",&n,&m);
    rep(i,1,n) scanf("%d",&a[i]);
    rep(i,1,n) rep(j,i,n) scanf("%d",&mp[i][j]);
    build(); printf("%d\n",ans-dinic());
    return 0;
}

[BZOJ4873][六省聯考2017]壽司餐廳(最大權閉合子圖)