[Shoi2017]壽司餐廳——最大權閉合子圖
阿新 • • 發佈：2018-05-31
收費 ems 最小 r+ 連續 註意 cst 順序 AD
題目描述
Kiana最近喜歡到一家非常美味的壽司餐廳用餐。每天晚上，這家餐廳都會按順序提供n種壽司，第i種壽司有一個 代號ai和美味度di,i，不同種類的壽司有可能使用相同的代號。每種壽司的份數都是無限的，Kiana也可以無限次 取壽司來吃，但每種壽司每次只能取一份，且每次取走的壽司必須是按餐廳提供壽司的順序連續的一段，即Kiana 可以一次取走第1,2種壽司各一份，也可以一次取走第2,3種壽司各一份，但不可以一次取走第1,3種壽司。由於餐 廳提供的壽司種類繁多，而不同種類的壽司之間相互會有影響：三文魚壽司和魷魚壽司一起吃或許會很棒，但和水 果壽司一起吃就可能會肚子痛。因此，Kiana定義了一個綜合美味度di,j(i<j)，表示在一次取的壽司中，如果包含 了餐廳提供的從第i份到第j份的所有壽司，吃掉這次取的所有壽司後將獲得的額外美味度。由於取壽司需要花費一 些時間，所以我們認為分兩次取來的壽司之間相互不會影響。註意在吃一次取的壽司時，不止一個綜合美味度會被 累加，比如若Kiana一次取走了第1,2,3種壽司各一份，除了d1,3以外，d1,2,d2,3也會被累加進總美味度中。神奇 的是，Kiana的美食評判標準是有記憶性的，無論是單種壽司的美味度，還是多種壽司組合起來的綜合美味度，在 計入Kiana的總美味度時都只會被累加一次。比如，若Kiana某一次取走了第1,2種壽司各一份，另一次取走了第2,3 種壽司各一份，那麽這兩次取壽司的總美味度為d1,1+d2,2+d3,3+d1,2+d2,3，其中d2,2只會計算一次。奇怪的是， 這家壽司餐廳的收費標準很不同尋常。具體來說，如果Kiana一共吃過了c(c>0)種代號為x的壽司，則她需要為這些 壽司付出mx^2+cx元錢，其中m是餐廳給出的一個常數。現在Kiana想知道，在這家餐廳吃壽司，自己能獲得的總美 味度（包括所有吃掉的單種壽司的美味度和所有被累加的綜合美味度）減去花費的總錢數的最大值是多少。由於她 不會算，所以希望由你告訴她輸入
輸出
輸出共一行包含一個正整數，表示Kiana能獲得的總美味度減去花費的總錢數的最大值。
點權有正有負，點權計算不重復，選了某些點就必須選其他點。可以看出是最大權閉合子圖，用正點權和減掉最小割就能得出答案。
那麽怎麽建圖？
由題目可看出總共有三種點：代號、區間美味度、壽司。
結合三者的關系連邊：
1、對於所有區間，如果美味度為正，從源點連過來，如果美味度為負，連到匯點，美味度轉正。
2、對於所有區間(i,j)，連向(i+1,j)和(i,j-1)，容量為INF，表示要選小區間之後才能選大區間。
3、對於所有區間(i,j)，連向i和j，容量為INF，表示選了對應壽司才能選這個區間（因為第二種連邊，所以不用把i到j所有壽司都連上）。
4、對於所有壽司，連向它們對應代號，容量為INF；連向匯點，容量為a[i]。
5、對於所有代號，連向匯點，容量為為m*a[i]*a[i]。
連完邊直接跑最大流就行了。這是我認為最好的一道最大流的題，難點就在於如何建圖，建明白圖後這道題就能迎刃而解了。
最後附上代碼。
1 #include<cstdio> 2 #include<algorithm> 3 #include<iostream> 4 #include<cstring> 5 #include<cmath> 6 using namespace std; 7 int next[100001]; 8 int to[100001]; 9 int val[100001]; 10 int head[100001]; 11 int tot=1; 12 int q[100001]; 13 int n,m; 14 int S,T; 15 int s[120][120]; 16 int vis[1010]; 17 int w[1010]; 18 int a[120]; 19 int id[120][120]; 20 long long ans; 21 long long sum; 22 int cnt; 23 int d[100001]; 24 const int INF=0x3f3f3f3f; 25 void add(int x,int y,int v) 26 { 27 tot++; 28 next[tot]=head[x]; 29 head[x]=tot; 30 to[tot]=y; 31 val[tot]=v; 32 tot++; 33 next[tot]=head[y]; 34 head[y]=tot; 35 to[tot]=x; 36 val[tot]=0; 37 } 38 bool bfs(int S,int T) 39 { 40 int r=0; 41 int l=0; 42 memset(d,-1,sizeof(d)); 43 q[r++]=S; 44 d[S]=0; 45 while(l<r) 46 { 47 int now=q[l]; 48 for(int i=head[now];i;i=next[i]) 49 { 50 if(d[to[i]]==-1&&val[i]!=0) 51 { 52 d[to[i]]=d[now]+1; 53 q[r++]=to[i]; 54 } 55 } 56 l++; 57 } 58 if(d[T]==-1) 59 { 60 return false; 61 } 62 else 63 { 64 return true; 65 } 66 } 67 int dfs(int x,int flow) 68 { 69 if(x==T) 70 { 71 return flow; 72 } 73 int now_flow; 74 int used=0; 75 for(int i=head[x];i;i=next[i]) 76 { 77 if(d[to[i]]==d[x]+1&&val[i]!=0) 78 { 79 now_flow=dfs(to[i],min(flow-used,val[i])); 80 val[i]-=now_flow; 81 val[i^1]+=now_flow; 82 used+=now_flow; 83 if(now_flow==flow) 84 { 85 return flow; 86 } 87 } 88 } 89 if(used==0) 90 { 91 d[x]=-1; 92 } 93 return used; 94 } 95 void dinic() 96 { 97 while(bfs(S,T)==true) 98 { 99 ans+=dfs(S,INF); 100 } 101 } 102 int main() 103 { 104 scanf("%d%d",&n,&m); 105 for(int i=1;i<=n;i++) 106 { 107 scanf("%d",&a[i]); 108 } 109 for(int i=1;i<=n;i++) 110 { 111 for(int j=i;j<=n;j++) 112 { 113 scanf("%d",&s[i][j]); 114 } 115 } 116 for(int i=1;i<=n;i++) 117 { 118 for(int j=i;j<=n;j++) 119 { 120 id[i][j]=++cnt; 121 } 122 } 123 for(int i=1;i<=n;i++) 124 { 125 if(!vis[a[i]]) 126 { 127 vis[a[i]]=1; 128 w[a[i]]=++cnt; 129 } 130 } 131 S=0; 132 T=cnt+n+1; 133 memset(vis,0,sizeof vis); 134 for(int i=1;i<=n;i++) 135 { 136 if(!vis[a[i]]) 137 { 138 vis[a[i]]=1; 139 add(w[a[i]],T,m*a[i]*a[i]); 140 } 141 } 142 for(int i=1;i<=n;i++) 143 { 144 add(cnt+i,T,a[i]); 145 add(cnt+i,w[a[i]],INF); 146 } 147 for(int i=1;i<=n;i++) 148 { 149 for(int j=i;j<=n;j++) 150 { 151 if(s[i][j]>0) 152 { 153 sum+=s[i][j]; 154 add(S,id[i][j],s[i][j]); 155 add(id[i][j],cnt+i,INF); 156 add(id[i][j],cnt+j,INF); 157 } 158 else if(s[i][j]<0) 159 { 160 add(id[i][j],T,-s[i][j]); 161 add(id[i][j],cnt+i,INF); 162 add(id[i][j],cnt+j,INF); 163 } 164 if(i!=j) 165 { 166 add(id[i][j],id[i+1][j],INF); 167 add(id[i][j],id[i][j-1],INF); 168 } 169 } 170 } 171 dinic(); 172 sum-=ans; 173 printf("%lld",sum); 174 return 0; 175 }
[Shoi2017]壽司餐廳——最大權閉合子圖