vjudge

題意

有\(n\)張卡片，每一次你有\(p_i\)的概率買到第\(i\)張卡。求買到所有卡的期望購買次數。
\(n\le20,\sum p_i\le1\)

sol

\(n\le20\)那就一定是狀壓了吧。
設\(f_s\)表示已經買到了集合\(s\)後的期望購買次數。顯然轉移方程式長這樣：
\(f_s=\sum_{i\notin{S}}f_{s|\{i\}}*p_i+(1-\sum_{i\notin{S}}p_i)*f_s+1\)
這個轉移是個\(DAG\)可以直接\(dp\)。復雜度\(O(2^n*n)\)。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
 

using namespace std;
int n,all;double p[20],f[1<<20];
int main()
{
    while (scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        for (int i=0;i<n;++i) scanf("%lf",&p[i]);
        all=(1<<n)-1;f[all]=0;
        for (int i=all-1;~i;--i)
        {
            double sum=0;f[i]=0;
            for
 
 (int j=0;j<n;++j)
                if (~i&(1<<j)) f[i]+=p[j]*f[i|(1<<j)],sum+=p[j];
            f[i]=(f[i]+1)/sum;
        }
        printf("%.4lf\n",f[0]);
    }
    return 0;
}

然而還有一個方法做。
用到一個叫什麽鬼min-max容斥的東西。
就是一個式子：
\[E(\max\{x_1,x_2...x_n\})=\sum_{S}(-1)^{|S|+1}E(\min_{i\in{S}}\{x_i\})\]

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n;double p[20],ans;
void dfs(int i,double sum,double opt)
{
    if (i==n)
    {
        if (sum>1e-9) ans+=opt/sum;
        return;
    }
    dfs(i+1,sum+p[i],-opt);
    dfs(i+1,sum,opt);
}
int main()
{
    while (scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        for (int i=0;i<n;++i) scanf("%lf",&p[i]);
        ans=0;dfs(0,0,-1);
        printf("%.4lf\n",ans);
    }
    return 0;
}

[HDU4336]Card Collector