Description

我們稱一個僅由0、1構成的序列為"交錯序列"，當且僅當序列中沒有相鄰的1（可以有相鄰的0）。例如，000，001
，101，都是交錯序列，而110則不是。對於一個長度為n的交錯序列，統計其中0和1出現的次數，分別記為x和y。
給定參數a、b，定義一個交錯序列的特征值為x^ay^b。註意這裏規定任何整數的0次冪都等於1（包括0^0=1）。
顯然長度為n的交錯序列可能有多個。我們想要知道，所有長度為n的交錯序列的特征值的和，除以m的余數。(m是
一個給定的質數)例如，全部長度為3的交錯串為：000、001、010、100、101。

Solution

看到 \(x^ay^b\) 容易想到要展開,然後就發現變成了

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=205;
int n,a,b,mod,c[N][N],m,d;
inline void priwork(){
    for(int i=0;i<N;i++){
        c[i][0]=1;
        for(int j=1;j<=i;j++)c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%mod;
    }
}
struct
 
 mat{
    int a[N][N];
    mat(){}
    inline mat operator *(const mat &p)const{
        mat ret;
        for(int i=0;i<m;i++)
            for(int j=0;j<m;j++){
                ret.a[i][j]=0;
                for(int k=0;k<m;k++)
                    if(a[i][k] && p.a[k][j])
                        ret.a[i][j]=(ret.a[i][j]+1ll*a[i][k]*p.a[k][j])%mod;
            }
        return ret;
    }
}S,T;
inline void solve(){
    for(int i=0;i<d;i++){
        T.a[i+d][i]=1;T.a[i][i]=1;
        for(int j=i;j<d;j++)T.a[i][j+d]=c[j][i];
    }
    int k=n;
    S.a[0][0]=1;
    while(k){
        if(k&1)S=S*T;
        T=T*T;k>>=1;
    }
}
int main(){
  freopen("pp.in","r",stdin);
  freopen("pp.out","w",stdout);
  int ans=0;
  memset(S.a,0,sizeof(S.a));memset(T.a,0,sizeof(T.a));
  cin>>n>>a>>b>>mod;d=a+b+1;m=d*2;
  priwork();solve();
  for(int i=0;i<d;i++)S.a[0][i]=(S.a[0][i]+S.a[0][i+d])%mod;
  for(int i=0,t=1;i<=a;i++,t=1ll*t*n%mod)
      ans=(ans+1ll*((a-i)&1?-1:1)*c[a][i]*t%mod*S.a[0][a+b-i])%mod;
  if(ans<0)ans+=mod;
  cout<<ans<<endl;
  return 0;
}

bzoj 5298: [Cqoi2018]交錯序列