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5298: [Cqoi2018]交錯序列

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Description

我們稱一個僅由0、1構成的序列為"交錯序列"，當且僅當序列中沒有相鄰的1（可以有相鄰的0）。例如，000，001 ，101，都是交錯序列，而110則不是。對於一個長度為n的交錯序列，統計其中0和1出現的次數，分別記為x和y。 給定參數a、b，定義一個交錯序列的特征值為x^a*y^b。註意這裏規定任何整數的0次冪都等於1（包括0^0=1）。 顯然長度為n的交錯序列可能有多個。我們想要知道，所有長度為n的交錯序列的特征值的和，除以m的余數。(m是 一個給定的質數)例如，全部長度為3的交錯串為：000、001、010、100、101。 當a=1，b=2時，可計算3¹x0²+2¹x1²+2¹x1²+2¹x1²+1¹x2²=10

Input

輸入文件共一行，包含三個空格分開的整數n，a，b和m。 1≤n≤10000000，0≤a，b≤45，m<100000000

Output

輸出文件共一行，為計算結果。

Sample Input

3 1 2 1009

Sample Output

10 x+y是定值，所以我們可以展開多項式算貢獻。 設 f(i,k,0/1) 為前i位中這一位是0/1的所有序列的1的個數的k次方的和，然後我們就可以矩陣直接轉移了233.

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
int N,M,A,B,S[195],n,AB,T,ans,C[105][105],F[195];
inline int add(int x,int y){ x+=y; return x>=M?x-M:x;}
inline int mul(int x,int y,const int ha){ return x*(ll)y%ha;}
inline int ksm(int x,int y,const int ha){ int an=1; for(;y;y>>=1,x=mul(x,x,ha)) if(y&1) an=mul(an,x,ha); return an;}
struct node{
    int a[187][187];
    inline void clear(){ memset(a,0,sizeof(a));}
    inline void BASE(){ clear(); for(int i=0;i<T;i++) a[i][i]=1;}
    node operator *(const node &u)const{
        node r; r.clear();
        for(int k=0;k<T;k++)
            for(int i=0;i<T;i++)
                for(int j=0;j<T;j++) r.a[i][j]=add(r.a[i][j],mul(a[i][k],u.a[k][j],M));
        return r;
    }
}X,ANS;

inline void build(){
    C[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=100;i++){
        C[i][0]=1;
        for(int j=1;j<=i;j++) C[i][j]=add(C[i-1][j-1],C[i-1][j]);
    }
    
    S[n=0]=1;
    for(int i=1;i<=B;i++){
        memcpy(F,S,sizeof(S));
        memset(S,0,sizeof(S));
        for(int j=0;j<=n;j++){
            S[j]=add(S[j],mul(F[j],N,M));
            S[j+1]=add(S[j+1],M-F[j]);
        }
        n++;
    }
    n+=A;
    for(int i=n;i>=A;i--) S[i]=S[i-A];
    fill(S,S+A,0);
    
    X.clear();
    for(int i=0;i<AB;i++){
        for(int j=i;j<AB;j++) X.a[i][j+AB]=C[j][i];
        X.a[i][i]=X.a[i+AB][i]=1;
    }
}

inline void calc(){
    ANS.BASE();
    for(;N;N>>=1,X=X*X) if(N&1) ANS=ANS*X;
    for(int i=0;i<AB;i++) ans=add(ans,mul(add(ANS.a[0][i],ANS.a[0][i+AB]),S[i],M));
}

int main(){
    scanf("%d%d%d%d",&N,&B,&A,&M),AB=A+B+1,T=AB<<1;
    build(),calc();
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}

　　

[CQOI 2018] 交錯序列