P4035 [JSOI2008]球形空間產生器

題目

題目大意

給出n維空間上的n+1個點，且這些店都在一個圓的表面，求圈心坐標.

定義：

1. 球心：到球面上任意一點距離都相等的點。

2. 兩點間距離公式

\[ A(x_1,x_2,x_3,x_4,\cdots x_n) \]

\[ B(y_1,y_2,y_3,y_4,\cdots y_n) \]

\[ distance:\sqrt[2]{\sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2} \]

題目看上去應該就是解方程了。

我們可以使用gauss消元法。

不過問題就來了。這是一個二次多元方程組。而我們的gauss只能解決一次。而且gauss的前提是有n個未知數，我們必須有n個方程。（當然有些不嚴謹

我們就要考慮移項和再設一個未知數。

原方程中的一個：我們先設一個數，r。表示根據圓的標準方程算出來的半徑

A為一個點，R為圓心

\[A(x_1,x_2,x_3,x_4,\cdots x_n)\]

\[R(y_1,y_2,y_3,y_4,\cdots y_n)\]

\[\sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2=r^2\]

\[\sum_{i=1}^{n}x_i^2-\sum_{i=1}^{n}2x_iy_i+\sum_{i=1}^{n}y_i^2=r^2\]

請註意這裏的A的坐標都是已知量。而r和R的坐標不是

然後我們移項
\[-\sum_{i=1}^{n}2x_iy_i+(\sum_{i=1}^{n}y_i^2-r^2)=-\sum_{i=1}^{n}x_i^2\]

最繞的一步來了

我們將括號內的整體代換（或看成一個未知數）

這樣就有n+1個未知數來了。而且我們解出方程來後，我們只需要前n個未知數。後面我們後面設的未知數雖然解出來了。但是沒有什麽用。只是我們一個輔助變量

同時，這個題也告訴我們一些小技巧。

1. 出題人不可能多給條件。有些是要我們自己設的
2. 遇到二次方程。可以考慮拆括號和移項。然後進行還原達到降冪的目的

#include<cstdio> 
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
double
 
 map[15][15];
double ans[15];
int n;
void gauss()
{
    for(int i=1;i<=n+1;i++)
    {
        int r=i;
        for(int j=i+1;j<=n+1;j++)
            if(fabs(map[r][i])<fabs(map[j][i]))
                r=j;
        if(r!=i)
            for(int j=i;j<=n+2;j++)
                swap(map[i][j],map[r][j]);
        double div=map[i][i]; 
        for(int j=i;j<=n+2;j++)
            map[i][j]/=div;
        for(int j=i+1;j<=n+1;j++)
        {
            div=map[j][i];
            for(int k=i;k<=n+2;k++)
                map[j][k]-=div*map[i][k];
        }
    }
    ans[n+1]=map[n+1][n+2];
    for(int i=n;i>=1;i--)
    {
        ans[i]=map[i][n+2];
        for(int j=i+1;j<=n+1;j++)
            ans[i]-=map[i][j]*ans[j];
    }
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n+1;i++)
    {
        double data;
        for(int j=1;j<=n;j++) 
        {
            scanf("%lf",&data);
            map[i][j]=-2.0*data;
            map[i][n+2]-=data*data;
        }
        map[i][n+1]=1;
    }
    gauss();
    printf("%.3lf",ans[1]);
    for(int i=2;i<=n;i++)
        printf(" %.3lf",ans[i]);
}

P4035 [JSOI2008]球形空間產生器