https://cosx.org/2013/01/story-of-normal-distribution-1

有一天一個哥們，也許是個賭徒，向棣莫弗提了一個和賭博相關的問題：A、B 兩人在賭場裏賭博，A、B 各自的獲勝概率是$\mathrm{p,q=1-pp,q=1-p,\; 賭\; nn\; 局。兩人約定：若\; A\; 贏的局數\; X>npX>np,\; 則\; A\; 付給賭場\; X-npX-np元；若\; X<npX<np,\; 則\; B\; 付給賭場\; np-Xnp-X\; 元。\; 問賭場掙錢的期望值是多少。}$

問題並不復雜， 本質上是一個二項分布，若 $\mathrm{npnp\; 為整數，棣莫弗求出最後的理論結果是}$

$$\mathrm{2npqb(n,p,np)2npqb(n,p,np)}$$

其中 $\mathrm{b(n,p,i)=(ni)piqn-ib(n,p,i)=(ni)piqn-i\; 是常見的二項概率。}$

“數學之美”筆記