題面在這裏

description

輸入兩個長度分別為\(n\)和\(m\)的顏色序列,要求按順序合並成同一個序列,即每次可以把一個序列開頭的顏色放到新序列的尾部。
對於每個顏色\(c\)來說,其跨度\(L(c)\)等於最大位置和最小位置之差。
你的任務是找一種合並方式,使得所有\(L(c)\)的總和最小。

——摘自《算法競賽入門經典(第2版)》,劉汝佳 著

data range

\[n,m\le 5000\]

solution

序列合並問題,使用\(f[i][j]\)表示第一個序列前\(i\)個顏色和第二個序列前\(j\)個顏色合並之後的最小貢獻
轉移時每次往後添加兩個序列首端的其中一個字符;

雖然通過這種狀態無法得知每種顏色在這些方案中的始末位置,但我們仍然可以計算答案——未來費用的動態規劃問題,提前計算貢獻!

我們使用輔助數組\(g[i][j]\)表示第一個序列前\(i\)個顏色和第二個序列前\(j\)個顏色合並之後還未結束的顏色數量,於是可以這樣轉移:

\[f[i][j]=min\{f[i-1][j]+g[i-1][j],f[i][j-1]+g[i][j-1]\}\]

答案存儲在\(f[n][m]\),做完啦

code

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<iomanip>
#include<cstring>
 

#include<complex>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<bitset>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<stack>
#include<map>
#include<set>
//#define TEST
#define FILE "a"
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define RG register
 

#define il inline
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
typedef vector<int>VI;
typedef long long ll;
typedef double dd;
const int inf=1e9+7;
const int mod2=998244353;
const int rev2=332748118;
const int mod1=1e9+7;
const int N=5010;
const dd eps=1e-10;
const ll INF=1e18;
il ll read(){
  RG ll data=0,w=1;RG char ch=getchar();
  while(ch!=‘-‘&&(ch<‘0‘||ch>‘9‘))ch=getchar();
  if(ch==‘-‘)w=-1,ch=getchar();
  while(ch<=‘9‘&&ch>=‘0‘)data=data*10+ch-48,ch=getchar();
  return data*w;
}

il void file(){
  freopen(FILE".in","r",stdin);
  freopen(FILE".out","w",stdout);
}

int n,m,g[N][N],f[N][N],tot[400],cnt[400];
char a[N],b[N];
il int solve(){
    memset(tot,0,sizeof(tot));
    for(RG int i=1;i<=n;i++)tot[a[i]]++;
    for(RG int i=1;i<=m;i++)tot[b[i]]++;
    for(RG int i=0;i<=n;i++){
        memset(cnt,0,sizeof(cnt));
        g[i][0]=0;
        for(RG int j=1;j<=i;j++){
            if(!cnt[a[j]])g[i][0]++;
            cnt[a[j]]++;
            if(cnt[a[j]]==tot[a[j]])g[i][0]--;
        }
        for(RG int j=1;j<=m;j++){
            g[i][j]=g[i][j-1];
            if(!cnt[b[j]])g[i][j]++;
            cnt[b[j]]++;
            if(cnt[b[j]]==tot[b[j]])g[i][j]--;
        }
    }
    f[0][0]=0;
    for(RG int i=0;i<=n;i++)
        for(RG int j=0;j<=m;j++){
            if(i||j)f[i][j]=2147484647/2;
            if(i)f[i][j]=min(f[i][j],f[i-1][j]+g[i-1][j]);
            if(j)f[i][j]=min(f[i][j],f[i][j-1]+g[i][j-1]);
        }
    return f[n][m];
}

int main()
{
    RG int T=read();
    while(T--){
        scanf("%s%s",a+1,b+1);n=strlen(a+1);m=strlen(b+1);
        printf("%d\n",solve());
    }
    return 0;
}

[UVA1625]Color Length