https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1502

https://www.luogu.org/problemnew/show/P4207

李哲非常非常喜歡檸檬樹，特別是在靜靜的夜晚，當天空中有一彎明月溫柔地照亮地面上的景物時，他必會悠閑地坐在他親手植下的那棵檸檬樹旁，獨自思索著人生的哲理。李哲是一個喜愛思考的孩子，當他看到在月光的照射下檸檬樹投在地面上的影子是如此的清晰，馬上想到了一個問題：樹影的面積是多大呢？李哲知道，直接測量面積是很難的，他想用幾何的方法算，因為他對這棵檸檬樹的形狀了解得非常清楚，而且想好了簡化的方法。李哲將整棵檸檬樹分成了n 層，由下向上依次將層編號為1,2,…,n。從第1到n-1 層，每層都是一個圓臺型，第n 層(最上面一層)是圓錐型。對於圓臺型，其上下底面都是水平的圓。對於相鄰的兩個圓臺，上層的下底面和下層的上底面重合。第n 層(最上面一層)圓錐的底面就是第n-1 層圓臺的上底面。所有的底面的圓心(包括樹頂)處在同一條與地面垂直的直線上。李哲知道每一層的高度為h1,h2,…,hn，第1 層圓臺的下底面距地面的高度為h0，以及每層的下底面的圓的半徑r1,r2,…,rn。李哲用熟知的方法測出了月亮的光線與地面的夾角為alpha。

為了便於計算，假設月亮的光線是平行光，且地面是水平的，在計算時忽略樹幹所產生的影子。 李哲當然會算了，但是他希望你也來練練手。

參考：https://www.luogu.org/blog/ACdreamer/solution-p4207

超級細節之計算幾何題。

面積的並選擇用自適應辛普森求，我們只取x軸以上的部分，最後答案*2即可。

於是我們需要做到給定x求y，就需要求出這一坨投射的陰影的每個部分的函數（圓的部分可以用幾何求y）。

於是需要求出圓的公切線的解析式。

首先對於高度h，投射後的長度為cota*h，圓的大小沒有改變。

然後就是貼心的兩張圖了，根據這兩張圖，再結合你的初中幾何知識，相信你一定能推出來的！

#include<cmath>
#include<queue>
#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef double dl;
const int N=510;
const dl eps=1e-8;
struct cir{
    dl x,r;
}p[N];
struct line{
    dl k,b,l,r;
}q[N];
 
int n;
dl alpha;
inline dl py(dl a,dl b){return sqrt(a*a-b*b);}
inline dl f(dl x){
    dl ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(p[i].x-p[i].r<x&&x<p[i].x+p[i].r){
            ans=max(ans,py(p[i].r,x-p[i].x));
        }
    }
    for(int i=1;i<n;i++){
        if(q[i].l<=x&&x<=q[i].r){
            ans=max(ans,q[i].k*x+q[i].b);
        }
    }
    return ans;
}
inline dl simpson(dl l,dl r){
    dl mid=(l+r)/2;
    return (f(l)+4*f(mid)+f(r))*(r-l)/6;
}
inline dl asr(dl l,dl r,dl ans){
    dl mid=(l+r)/2;
    dl l1=simpson(l,mid),r1=simpson(mid,r);
    if(fabs(l1+r1-ans)<eps)return l1+r1;
    return asr(l,mid,l1)+asr(mid,r,r1);
}
inline int shadow(dl a){
    dl c=a*alpha;
    dl d=sqrt(a*a+c*c);
    return c*a/d;
}
inline void getl(int x,int y){
    if(fabs(p[x].r-p[y].r)<eps){
        q[x].l=p[x].x,q[x].r=p[y].x;
        q[x].k=0;q[x].b=p[x].r;
        return;
    }
    dl CA=p[y].x-p[x].x,AJ=fabs(p[x].r-p[y].r);
    dl CG=p[x].r,AB=p[y].r;
    dl CK=CG*AJ/CA,AI=AB*AJ/CA;
    if(p[x].r>p[y].r){
        q[x].l=p[x].x+CK;q[x].r=p[y].x+AI;
        dl x1=q[x].l,y1=py(CG,CK);
        dl x2=q[x].r,y2=py(AB,AI);
        q[x].k=(y1-y2)/(x1-x2);
        q[x].b=y1-q[x].k*x1;
    }else{
        q[x].l=p[x].x-CK;q[x].r=p[y].x-AI;
        dl x1=q[x].l,y1=py(CG,CK);
        dl x2=q[x].r,y2=py(AB,AI);
        q[x].k=(y1-y2)/(x1-x2);
        q[x].b=y1-q[x].k*x1;
    }
}
int main(){
    scanf("%d%lf",&n,&alpha);
    alpha=1.0/tan(alpha);
    for(int i=1;i<=n+1;i++){
        scanf("%lf",&p[i].x);
        p[i].x*=alpha;
        p[i].x+=p[i-1].x;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lf",&p[i].r);
    p[++n].r=0;
    for(int i=1;i<n;i++){
        getl(i,i+1);
    }
    dl l=p[1].x-p[1].r,r=p[n].x;
    for(int i=1;i<=n;i++){
    r=max(r,(p[i].x+p[i].r));
    l=min(l,(p[i].x-p[i].r));
    }
    printf("%.2lf\n",2*asr(l,r,simpson(l,r)));
    return 0;
}

+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

+本文作者：luyouqi233。 　　　　　　　　　　　　　　+

+歡迎訪問我的博客：http://www.cnblogs.com/luyouqi233/+

+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

BZOJ1502：[NOI2005]月下檸檬樹——題解