一、
先介紹以下矩陣的基礎知識
矩陣：有 n 行 m 列組成一個 n*m 的矩陣
1.
矩陣的加減運算
滿足的條件：兩個矩陣的行、列 必須相同
2.
矩陣的乘運算
滿足的條件：
A矩陣的列數為 B矩陣的行數
A(ms)*B(sn)=C(mn)
得到的矩陣 C 是 m 行 n 列的
其中 c[i][j] 為A 的第 i 行與B的第j 列對應乘積的和
即：

代碼：

 1 const int N=100;  
 2 int c[N][N];  
 3 void multi(int a[m][s],int b[s][n])//n是矩陣大小，n<N  
 4 {  
 5     memset(c,0
 
,sizeof c);  
 6     for(int i=1;i<=m;i++){  
 7         for(int j=1;j<=n;j++){
 8             for(int k=1;k<=s;k++){
 9                 c[i][j]+=a[i][k]*b[k][j];  
10                 c[i][j]%=mod;//一定要在求和之後在　ｍｏｄ
11             }
12         }
13     }
14 }  

二、
單位矩陣：
在矩陣的乘法中，有一種矩陣起著特殊的作用，如同數的乘法中的1，這種矩陣被稱為單位矩陣。它是個方陣，從左上角到右下角的對角線（稱為主對角線）上的元素均為1。除此以外全都為0。

三、

快速冪的思想：

假設我們要求a^b，最樸素的方法就是不斷地乘a，乘b次，復雜度O(b)。
如果b很大，10^9，就需要用快速冪的思想。
例：a=3，b=100；
100的二進制為：1100100
也就是100可以化成64+32+4。

所以原數可以化成a^64*a^32*a^4

算法流程：
判斷1100100的每一位是否為1，如果是1，就乘對應的二進制次冪。以此類推，直到乘完全部的位數。

時間復雜度O(log n)

 1 /*一般快速冪的模板*/
 2 int quickpow(int a,int b){    
 3     ans=1;     
 4     while(b){    
 5         if(b&1) ans*=a;    
 6         a*=a;    
 7         b>>=1;    
 8     }    
 9     return ans;    
10 }    

（快速冪詳解

https://www.cnblogs.com/wkfvawl/p/9125224.html）

四、

矩陣與DP

a[i]=a[i-1]+b[i-1]+1,b[i]=2*a[i-1]-5 ;a[1]=1,b[1]=1,問a[x]=?,b[x]=?
很簡單的遞推，一步步推即可，但是，如果x是10^9，如何推？
思維：遞推式可以化為矩陣乘積

那麽，矩陣A[i]=A[i-1]*B;
A[i+1]=A[i]*B=A[i-1]*B*B
A[x]=A[1]*B*B*B.......=A[1]*( B^(x-1) );
因為矩陣乘積可以換乘積順序，所以可以先算出B^(x-1)，如何計算呢？
快速冪！

問題迎刃而解~

1.構造出遞推矩陣
2.對構造出的矩陣B，進行B^x的快速冪，乘積換成矩陣乘法。
3.最後矩陣的第一行第一列和第二列就是a[x]和a[y]。

其實快速冪和矩陣快速冪是異曲同工,但是往往構造矩陣是難點，轉載一個別人博客寫的矩陣構造方法：

Fibonacci數列：F(0)=1 , F(1)=1 , F(n)=F(n-1)+F(n-2)

我們以前快速求Fibonacci數列第n項的方法是 構造常系數矩陣

（一） Fibonacci數列f[n]=f[n-1]+f[n-2],f[1]=f[2]=1的第n項快速求法（不考慮高精度）

解法：

考慮1×2的矩陣【f[n-2],f[n-1]】。根據Fibonacci數列的遞推關系，我們可以通過乘以一個2×2的矩陣A，得到矩陣：【f[n-1],f[n]】。

即：【f[n-2],f[n-1]】*A = 【f[n-1],f[n]】=【f[n-1],f[n-1]+f[n-2]】

很容易構造出這個2×2矩陣A，即：
０ １
１ １

所以，有【f[1],f[2]】×A＝【f[2],f[3]】
又因為矩陣乘法滿足結合律，故有：
【f[1],f[2]】×A ^(n-1) =【f[n],f[n+1]】
這個矩陣的第一個元素f[n]即為所求。

（二） 數列f[n]=f[n-1]+f[n-2]+1,f[1]=f[2]=1的第n項的快速求法（不考慮高精度）

解法：
仿照前例，考慮1×3的矩陣【f[n-2],f[n-1],1】，希望求得某3×3的矩陣A，使得此1×3的矩陣乘以A得到矩陣：【f[n-1],f[n],1】

即：【f[n-2],f[n-1],1】* A ＝【f[n-1],f[n],1】=【f[n-1],f[n-1]+f[n-2]+1,1】

容易構造出這個3×3的矩陣A，即：
０ １ ０
１ １ ０
０ １ １

故：【f[1],f[2],1】* A^(n-1) = 【f[n],f[n+1],1】

（三）數列f[n]=f[n-1]+f[n-2]+n+1,f[1]=f[2]=1的第n項的快速求法（不考慮高精度）.
解法：
仿照前例，考慮1×4的矩陣【f[n-2],f[n-1],n,1】，希望求得某4×4的矩陣A，使得此1×4的矩陣乘以A得到矩陣：【f[n-1],f[n],n+1,1】
即：【f[n-2],f[n-1],n,1】* A = 【f[n-1],f[n],n+1,1】＝【f[n-1],f[n-1]+f[n-2]+n+1,n+1,1】
容易構造出這個4×4的矩陣A，即：
０ １ ０ ０
１ １ ０ ０
０ １ １ ０
０ １ １ １

故：【f[1],f[2],3,1】* A^(n-1) = 【f[n],f[n+1],n+2,1】

（四） 數列f[n]=f[n-1]+f[n-2],f[1]=f[2]=1的前n項和s[n]=f[1]+f[2]+……+f[n]的快速求法（不考慮高精度）.

解法：

仿照之前的思路，考慮1×3的矩陣【f[n-2],f[n-1],s[n-2]】，我們希望通過乘以一個3×3的矩陣A，得到1×3的矩陣：【f[n-1],f[n],s[n-1]】
即：【f[n-2],f[n-1],s[n-2]】 * A = 【f[n-1],f[n],s[n-1]】=【f[n-1],f[n-1]+f[n-2],s[n-2]+f[n-1]】
容易得到這個3×3的矩陣A是：
０ １ ０
１ １ １
０ ０ １

這種方法的矩陣規模是(r+1)*(r+1)

f(1)=f(2)=s(1)=1 ，所以，有

【f(1),f(2),s(1)】* A = 【f(2),f(3),s(2)】

故：【f(1),f(2),s(1)】* A^(n-1) = 【f(n),f(n+1),s(n)】

（五） 數列f[n]=f[n-1]+f[n-2]+n+1,f[1]=f[2]=1的前n項和s[n]=f[1]+f[2]+……+f[n]的快速求法（不考慮高精度）.

解法：

考慮1×5的矩陣【f[n-2],f[n-1],s[n-2],n,1】,
我們需要找到一個5×5的矩陣A，使得它乘以A得到如下1×5的矩陣【f[n-1],f[n],s[n-1],n+1,1】
即：【f[n-2],f[n-1],s[n-2],n,1】* A =【f[n-1],f[n],s[n-1],n+1,1】

=【f[n-1], f[n-1]+f[n-2]+n+1,s[n-2]+f[n-1],n+1,1】
容易構造出A為：
０ １ ０ ０ ０
１ １ １ ０ ０
０ ０ １ ０ ０
０ １ ０ １ ０
０ １ ０ １ １

故：【f(1),f(2),s(1),3,1】* A^(n-1) = 【f(n),f(n+1),s(n),n+2,1】

一般地，如果有f[n]=p*f[n-1]+q*f[n-2]+r*n+s
可以構造矩陣A為：
0 q 0 0 0
1 p 1 0 0
0 0 1 0 0
0 r 0 1 0
0 s 0 1 1

更一般的，對於f[n]=Sigma(a[n-i]*f[n-i])+Poly(n)，其中0<i<=某常數c, Poly (n)表示n的多項式，我們依然可以構造類似的矩陣A來解決問題。
設Degree(Poly(n))=d, 並規定Poly(n)=0時，d=-1，此時對應於常系數線性齊次遞推關系。則本方法求前n項和的復雜度為：
((c+1)+(d+1))3*logns

例如：A(0) = 1 , A(1) = 1 , A(N) = X * A(N - 1) + Y * A(N - 2) (N >= 2)；給定三個值N，X，Y求S(N):S(N) = A(0)2 +A(1)2+……+A(n)2。

解：

考慮1*4 的矩陣【s[n-2],a[n-1]^2,a[n-2]^2,a[n-1]*a[n-2]】

我們需要找到一個4×4的矩陣A，使得它乘以A得到1×4的矩陣

【s[n-1],a[n]^2,a[n-1]^2,a[n]*a[n-1]】

即：【s[n-2],a[n-1]^2,a[n-2]^2,a[n-1]*a[n-2]】* A = 【s[n-1],a[n]^2,a[n-1]^2,a[n]*a[n-1]】

= 【s[n-2]+a[n-1]^2 , x^2 * a[n-1]^2 + y^2 * a[n-2]^2 + 2*x*y*a[n-1]*a[n-2] ,

a[n-1]^2 , x*a[n-1]^2 + y*a[n-2]a[n-1]】

可以構造矩陣A為：

1 0 0 0

1 x^2 1 x

0 y^2 0 0

0 2xy 0 y

故：【S[0],a[1]^2,a[0]^2,a[1]*a[0]】 * A^(n-1) = 【s[n-1],a[n]^2,a[n-1]^2,a[n]*a[n-1]】

所以：【S[0],a[1]^2,a[0]^2,a[1]*a[0]】 * A^(n) = 【s[n],a[n+1]^2,a[n]^2,a[n+1]*a[n]】

若A = (B * C ) 則AT = ( B * C )T = CT * BT

故

矩陣快速冪基礎知識