預備篇 I ：範疇與函子
拓撲是研究幾何圖形或空間在連續改變形狀後還能保持不變的一些性質的一個學科。它只考慮物體間的位置關系而不考慮它們的形狀和大小。
拓撲是集合上的一種結構。
拓撲英文名是Topology，直譯是地誌學，最早指研究地形、地貌相類似的有關學科。幾何拓撲學是十九世紀形成的一門數學分支，它屬於幾何學的範疇。
“代數拓撲的基本觀點：幾何對象的代數照相。這種照相是用範疇與函子的語言來表達的。”
——姜伯駒
範疇和函子（尤其是函子）主要是由代數拓撲引出的概念，主要目的是用一種更抽象統一的語言來描述關於拓撲空間的不變量，也就是如果能用函子把兩個範疇（例如拓撲空間範疇和群範疇）聯系起來，那麽一個範疇中的對象（拓撲空間）在函子作用下所對應的另一個範疇中的對象（基本群）就是這個對象（拓撲空間）的不變量。（因為我們拓撲學中知道，兩個拓撲空間同胚，那麽它們的基本群同構）
註：初學者可先看本文第三部分，再看一、二。
【一】範疇
【範疇】什麽是範疇？簡單來說，一個範疇由兩個集合組成：
（1）一些對象構成的一個類；
（2）中附加上每個對象之間的所有態射
構成的族。
並且滿足：態射間的復合律（為
到
的態射，
為
到
的態射，那麽
為
到
的態射，且運算“
”是結合的）；以及存在每個對象
到自己的恒同態射
（
，
）。
舉幾個例子：
1. 所有群以及群之間的同態映射構成一個範疇（其中，每個對象是群，兩個對象之間的所有態射就是這兩個群之間的所有同態映射），稱為群範疇；
2. 所有線性空間以及線性空間的線性映射構成一個範疇（其中，每個對象是線性空間，兩個對象減的所有態射就是這兩個線性空間的所有線性映射），稱為線性空間範疇；
3. 所有拓撲空間以及拓撲空間的連續映射構成一個拓撲空間範疇；
4. 所有微分流形以及微分流形之間的光滑映射構成一個微分流形範疇；
......
【同構】如何描述範疇中兩個對象是“一樣”的？引入同構的概念：範疇中的兩個對象
、
間如果存在一個態射
以及另一個態射
，滿足
（恒同態射）且
（恒同態射），則稱這兩個對象同構，稱
、
為同構態射。
【積與余積】如何由一個範疇中幾個對象生成一個更大的對象呢？我們引入積與余積的概念：可以簡單理解成，範疇中任意多個空間的積（Product）就是通常所說的直積（笛卡爾積）的推廣，記為；而任意多個空間的余積（Coproduct）是直和的推廣，記為
或
。
（註意：在一個範疇中，積與余積不一定存在！但若存在，則積（余積）在同構意義下唯一，此時稱該範疇為積範疇（余積範疇））
例如：
1. 集合範疇裏的積就是通常意義下的笛卡爾積，余積是不交並；
2. 群範疇和環範疇裏面的積就是直積，余積是自由積；
3. 模範疇裏面的積就是笛卡爾積，余積是有限多對象做笛卡爾積；
4. 線性空間範疇裏面的積就是笛卡爾積，余積是有限多對象做笛卡爾積；
5. 拓撲空間範疇裏面的積就是笛卡爾積，余積是拓撲和。
積與余積的嚴格定義可以參考下圖：
【二】函子
【引入】 先來做個填空題：
兩個____空間存在同態 ，那麽它們對應的兩個____空間存在同態。
我們可以填寫如下：
兩個拓撲空間存在連續映射（同胚），那麽它們對應的基本群同態（同構）；
兩個拓撲空間存在連續映射（同胚），那麽它們對應的奇異同調群同態（同構）；
兩個微分流形存在光滑映射（微分同胚），那麽它們對應的deRham上同調群同態（同構）；
兩個李群同態（同構），那麽它們對應的李代數同態（同構）；
......
我們把這些關系抽象成一個更一般的形式，也就是所謂的“函子”。
【函子的定義】函子是兩個範疇之間的一種映射（關系）。 它把對象映射到對象，態射映射到態射。函子分為協變函子與反變函子，先給出協變函子的具體定義：
給定範疇和
，如果它們之間存在一個映射
，滿足：
1. 對象到對象：把
中對象
映射到
；
2. 態射到態射：把
中態射
映射到
中態射
，且滿足：
（1）（恒等律）恒等態射映到恒等態射：；
（2）（復合律）。
則稱映射為範疇
到範疇
的一個協變函子。
至於反變函子，只是把定義第2條中“”改為
，其它類似。
【函子的性質】函子最主要有兩條性質，也就是：
1. 函子把同構態射到同構態射；
2. 和
存在一個函子
，
和
存在一個函子
，則
是
到
的一個函子。
這樣，我們再重新看一下“引入”中的例子，把前者和後者分別當成一個範疇，那麽它們之間存在一個函子。
例如，拓撲空間範疇到Abel群範疇
有一個函子
，把
中兩個拓撲空間
、
（對象）分別映射到它們的奇異同調群
和
（
中兩個對象），且把
到
的任一連續映射
（態射）映射到
為
到
的同態
（態射）。
【三】關於代數拓撲
- 先提個基本問題，什麽是拓撲空間以及為什麽研究拓撲空間？
可以說拓撲空間是幾何學（廣義所指，包含拓撲學）的基礎。現代幾何學研究的東西都是在某個特定的拓撲空間上展開的，或者說：幾何學的基本對象就是拓撲空間。
比如流形，其就是局部同胚於歐式空間的拓撲空間（又稱Hausdorff空間）；再比如前兩篇我們談的微分流形，其實質就是賦有微分結構的流形；再比如微分幾何，其研究的也是賦有某種特定結構（比如黎曼度量，聯絡，張量場等等）的微分流形。
那麽，什麽是拓撲空間呢？拓撲空間有如下嚴格定義：設是一個非空集合，它的一個子集族
滿足：（1）
、
在
中；（2）對任意並封閉；（3）對任意交封閉。則稱集合
為一個賦有拓撲結構
的拓撲空間，記為
。
- 什麽又是代數拓撲？
拓撲學（尤其是代數拓撲）是幾何學的一個分支，其最終目的是為了找一些拓撲不變量對拓撲空間進行分類。因為點集拓撲中的不變量，諸如連通性、緊致性等等這些不變量實在不夠用，所以我們想通過找一些和拓撲空間有關的代數空間（有代數結構的拓撲不變量，即在拓撲空間同胚下同構），通過認識代數空間的結構來認識原來拓撲空間的性質，並在此基礎上將拓撲空間進行分類。
用範疇和函子的語言來描述就是，找到一個代數空間範疇，使得拓撲空間範疇到這個代數空間範疇之間有一個函子（因為函子把拓撲空間的連續映到代數空間的同態，且把拓撲空間的同胚映到代數空間的同構）。
而我們更大的夢想是找到一個代數空間範疇，使得這個範疇到拓撲空間範疇之間有一個函子！但是找了幾十年還是沒有找到這樣的範疇。（但在一些特定的拓撲空間中，我們確實做到了）
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預備篇 I ：範疇與函子