求解所有的變量的所有次冪的每一種的和
阿新 • • 發佈：2018-06-12
math 所有 等比數列 好的 是個 sum 解決 display 問題
就是
\[\sum_{j=0}(-1)^j(\sum_{i=1}^{n}a_i^{j+1})x_j\]
那麽分治 \(FFT\) 然後求 \(Ln\) 再 求導即可
方法二
\[Ln'(a_ix+1)=\frac{a_i}{a_ix+1}=\sum_{j=0}(-1)^ja_i^{j+1}x^j\]
把它積分一下
\[Ln(a_ix+1)=\sum_{j=1}\frac{(-1)^{j-1}a_i^{j}}{j}x^{j}\]
那麽
\[Ln(F(x))=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}\frac{(-1)^{j-1}a_i^{j}}{j}x^{j}\]
即
\[Ln(F(x))=\sum_{j=1}\frac{(-1)^{j-1}}{j}(\sum_{i=1}^{n}a_i^j)x^{j}\]
那麽分治 \(FFT\) 然後求 \(Ln\) 即可
標題很醜。。。
問題描述
\(n\) 個變量 \(a_n\)，求所有的
\[s_j=\sum_{i=1}^{n}a_i^j, j \in [0,m]\]
解決
\(O(n*m)\) 太暴力了
一個比較好的方法
設
\[F(x)=\Pi_{i=1}^{n}(a_ix+1)\]
則
\[Ln(F(x))=\sum_{i=1}^{n}Ln(a_ix + 1)\]
考慮這個 \(Ln(a_ix+1)\) 是個什麽
\[Ln'(a_ix+1)=\frac{a_i}{a_ix+1}=\sum_{j=0}(-1)^ja_i^{j+1}x^j\]
等比數列求和可證
那麽就有兩種方法
方法一
\[Ln'(F(x))=\sum_{i=1}^{n}Ln'(a_ix + 1)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=0}(-1)^ja_i^{j+1}x^j\]
就是
\[\sum_{j=0}(-1)^j(\sum_{i=1}^{n}a_i^{j+1})x_j\]
那麽分治 \(FFT\) 然後求 \(Ln\) 再 求導即可
方法二
\[Ln'(a_ix+1)=\frac{a_i}{a_ix+1}=\sum_{j=0}(-1)^ja_i^{j+1}x^j\]
把它積分一下
\[Ln(a_ix+1)=\sum_{j=1}\frac{(-1)^{j-1}a_i^{j}}{j}x^{j}\]
那麽
\[Ln(F(x))=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}\frac{(-1)^{j-1}a_i^{j}}{j}x^{j}\]
即
\[Ln(F(x))=\sum_{j=1}\frac{(-1)^{j-1}}{j}(\sum_{i=1}^{n}a_i^j)x^{j}\]
那麽分治 \(FFT\) 然後求 \(Ln\) 即可
求解所有的變量的所有次冪的每一種的和