線積分或路徑積分是積分的一種。在數學中，線積分的積分函數的取值沿的不是區間，而是特定的曲線，稱為積分路徑。在物理學上，線積分是質點在外力作用下運動一段距離後總功。

　　如果把空間向量場F = Pi + Qj + Rk看作力場，C是質點在力場作用下移動的曲線，那麽C在力場中線積分就是質點在力作用下所做的功：

　　與平面向量場中的線積分類似，空間線積分在dr中多了分量dz。關於平面場中的積分，可參考《多變量微積分13——線積分》

計算空間線積分

　　和平面向量場的線積分一樣，要用某個單變量參數轉換x,y,z,最終使空間線積分轉換成普通的一元積分。

　　示例1：

　　F = <yz, xz, xy>，運動軌跡C：x = t³

　　先根據C的參數化計算dx,dy,dz：

　　示例較為簡單，但是對於沒有明確給出的參數化，就需要自己判斷如何簡單有效地參數化。

　　示例2：

　　計算C的線積分，F = <yz, xz, xy>，運動軌跡C由C₁，C₂，C₃組成，如下圖所示：

　　C₁，C₂在xy平面，所以z = 0，dz = 0

　　對於C₃，x = 1, y = 1, dx = 0, dy = 0；0 ≤ z ≤ 1

獨立路徑

　　在《多變量微積分14——保守場和獨立路徑》中介紹了平面梯度場中線積分的獨立路徑：在梯度場中，如果需要計算一個線積分，無論怎樣的路徑，積分值都只跟起點P₀

　　這對於空間向量場的線積分同樣適用。在上節的示例2中，F = <yz, xz, xy>，很容易看出，f = xyz，F = ▽f = <yz, xz, xy>，因此向量場是保守場：

　　在保守場中，由於起點和終點一致，所以C的線積分和C’一樣，f是向量場的勢函數。

梯度場的判別

　　如果存在下面的關系，則表明空間向量場是保守場：

　　現在的問題是需要尋找到一個有效的方法判斷場是否是保守場。這個方法基於一個事實，對於混合二階導數，求導次序改變，其結果不變：

　　因此，如果場是保守場，則：

　　也可以用微分的觀點來看待這個問題，如果f是保守場的勢函數，則：

　　示例

　　如果axydx+(x²+z³)dy+(byz²-4z³)dz是保守場，a,b的取值是什麽？

　　如果習慣使用PQR，可以將問題轉換為Pdx + Qdy + Rdz，P = axy, Q = x²+z³ , R = yz²-4z，如果是保守場，則：

找出勢函數

　　在《多變量微積分15——梯度場和勢函數》中介紹過兩種方法求解平面梯度場中的勢函數，空間梯度場仍然可以使用這兩種方法。

　　在上一節的示例中我們知道，F = <2xy, x²+z³, 3yz²-4z³>是梯度場，現在我們嘗試找到它的勢函數。

線積分法

　　在梯度場中線積分的軌跡C從原點開始，終點是(x₁, y₁,z₁)。根據獨立路徑的原理，梯度場中的線積分只和起點終點有關，和路徑無關，所以可以尋求更簡單的計算方法，將C拆分為C₁,C₂,C₃如下圖所示：

　　根據獨立路徑準則：

　　將xyz的下標去掉，就得到勢函數：

　　這裏C是一個常數，說明f是一個勢函數族，就像不定積分要加上常數C一樣。

　　驗證：

不定積分法

　　梯度場中的勢函數f滿足：

　　根據微積分基本定理，導數的積分等於原函數，這裏將y,z看作常數，對f_x求x的積分：

　　由於f_x是偏導，所以積分最後並不是加上常數C，而是一個關於y和z的函數g(y,z)。

　　這裏的常數是關於z的函數h(z)。現在：

綜合示例

示例1

　　空間向量場F = zxi + zyj + xk，螺旋線C可參數化為(cost, sint, t)，C from (1, 0, 0) to (-1, 0, π)。計算C的線積分。

　　先來看C的軌跡，如果去掉z軸，那麽C的參數化x = cost, y = sint正好是極坐標下的圓。現在加上了z軸，那麽C的軌跡應當在柱面上。

示例2

　　找出b的值，使F = <y, x+byz,y²+1>是保守場；當F是保守場時，找出F的勢函數。

　　驗證：

　　 作者：我是8位的

　　出處：http://www.cnblogs.com/bigmonkey

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多變量微積分筆記24——空間線積分