www else uil .... 相對 spa 一次 mod 部分

Description

　　
　　BZOJ傳送門
　　
　　
　　

Solution

　　
　　這題涉及到指數嵌套堆疊，可能可以用歐拉函數解決。
　　
　　試想一個數\(a_i\)經過\(k\)次操作後會變成什麽？
\[ k個c\;\; \begin{cases} {c^{c^{a_i}}} \end{cases} \]
　　我們有擴展歐拉定理，\(a,x,p\)為任意正整數：
\[ a^x \equiv \begin{cases} a^{x\;mod\;\varphi(p)+\varphi(p)}&x\ge\varphi(p)\a^x&x<\varphi(p) \end{cases} \mod p \]

　　記\(f(k,p,a)\)表示\(個k個c\begin{cases}{c^{c^{a}}}\end{cases}\mod p\)
\[ \begin{aligned} f(k,p,a)&=c^{c^a\; mod\;\varphi(p)\;[+\varphi(p)]}\mod p\&=c^{f(k-1,\varphi(p),a)\;mod\;\varphi(p)\;[+\varphi(p)]} \end{aligned} \]
　　註意後面的\([+\varphi(p)]\)要比較\(f(k-1,\varphi(p),a)\)與\(\varphi(p)\)的相對大小，如何比較呢？由於\(\varphi\)的增長速度遠低於一個指數爆炸的函數，所以一旦某一次開始需要\(+\varphi(p)\)時，之後就一定都需要加了。我們維護一個flag表示是否需要加。當\(f\)還比較小的時候（靠近底層），我們可以通過預處理的一些\(c\)的冪（不模）來判斷，那麽這一部分就這樣解決了。
　　　
?　　至多經過\(O(\log p)\)次遞歸後，\(p\)會變成1，這是一個邊界條件，因為此時\(f(k,1,a)=0\)，再多的遞歸也毫無意義了。這意味著每一個數進行\(O(\log p)\)次操作後，它的值就不會再變化了，它的\(f\)會是一個定值。
　　
　　我們想到了線段樹的經典處理方法：如果這一段還有人未固定，那麽就遞歸計算；否則，這一段根本不需要改變，直接退出。
　　
　　實現細節較多，我們要省去快速冪的過程，所以做一個10000進制的快速冪預處理。我想了好久才想出\(f\)的計算代碼......
　　
　　
　　

Code

　　

#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=50005;
int n,m,MOD,c;
int a[N];
int dphi[100],dcnt;
ll mi[63];
int maxtop;
int mi1[80][10001],mi2[80][10001];
inline int add(int x,int y){return (x+y)%MOD;}
int powc(int x,int id){
    int s1=x/10000,s2=x-s1*10000;
    return 1LL*mi1[id][s2]*mi2[id][s1]%dphi[id];
}
inline int getPhi(int x){//計算phi(x)　O(sqrt(x))
    int res=x;
    for(int i=2;i*i<=x;i++)
        if(!(x%i)){
            res-=res/i;
            while(!(x%i)) x/=i;
        }
    if(x!=1) res-=res/x;
    return res;
}
inline int ksm(int x,int y,int M){//計算x^y % M
    int res=1;
    for(;y;x=1LL*x*x%M,y>>=1)
        if(y&1) res=1LL*res*x%M;
    return res;
}
inline bool check(int x,int p){return (x>maxtop)||(mi[x]>=p);}//檢查c^x是否大於等於p
bool calc(int x,int d,int &y){//計算f   d=k,p=輸入的MOD,a=x
    if(d>dcnt) return true;
    bool flag=false;
    if(x>=dphi[d]) flag=true;
    ll last=(x%dphi[d]+(flag?dphi[d]:0));
    ll res=powc(last,d-1);
    for(int i=d-2;i>=0;i--){
        if(!flag) flag|=check(last,dphi[i+1]);
        if(flag) res+=dphi[i+1];
        last=res;
        res=powc(last,i);
    }
    y=res;
    return false;
}
namespace SEG{/*{{{*/
    int rt,sz,ch[N*2][2],sum[N*2],last[N*2],dep[N*2];
    bool ok[N*2];
    inline void pushup(int u){
        sum[u]=add(sum[ch[u][0]],sum[ch[u][1]]);
        ok[u]=ok[ch[u][0]]&&ok[ch[u][1]];
    }
    void build(int &u,int l,int r){
        u=++sz;
        if(l==r){
            sum[u]=a[l];
            last[u]=0;
            ok[u]=false;
            return;
        }
        int mid=(l+r)>>1;
        build(ch[u][0],l,mid);
        build(ch[u][1],mid+1,r);
        pushup(u);
    }
    void modify(int u,int l,int r,int L,int R){
        if(L>R) return;
        if(ok[u]) return;
        if(l==r){
            last[u]=sum[u];
            dep[u]++;
            if(calc(a[l],dep[u],sum[u])) ok[u]=true;
            return;
        }
        int mid=(l+r)>>1;
        if(L<=mid) modify(ch[u][0],l,mid,L,R);
        if(mid<R) modify(ch[u][1],mid+1,r,L,R);
        pushup(u);
    }
    int query(int u,int l,int r,int L,int R){
        if(L>R) return 0;
        if(L<=l&&r<=R) return sum[u];
        int mid=(l+r)>>1,res=0;
        if(L<=mid) res=query(ch[u][0],l,mid,L,R);
        if(mid<R) res=add(res,query(ch[u][1],mid+1,r,L,R));
        return res;
    }
}/*}}}*/
int main(){
    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&MOD,&c);
    mi[0]=1;
    if(c!=1)
    for(maxtop=1;mi[maxtop-1]<=MOD;maxtop++) 
        mi[maxtop]=mi[maxtop-1]*c;
    maxtop--;
    dphi[0]=MOD;
    for(dcnt=1;;dcnt++){
        dphi[dcnt]=getPhi(dphi[dcnt-1]);
        if(dphi[dcnt]==1) break;
    }
    dphi[++dcnt]=1;
    for(int k=0;k<=dcnt;k++){
        mi1[k][0]=1;
        for(int i=1;i<=10000;i++) mi1[k][i]=1LL*mi1[k][i-1]*c%dphi[k];
        for(int i=0;i<=10000;i++) mi2[k][i]=ksm(mi1[k][i],10000,dphi[k]);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",a+i);
    SEG::build(SEG::rt,1,n);
    int opt,x,y;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        scanf("%d%d%d",&opt,&x,&y);
        if(!opt) SEG::modify(SEG::rt,1,n,x,y);
        else printf("%d\n",SEG::query(SEG::rt,1,n,x,y));
    }
    return 0;
}

【BZOJ4869】【SHOI2017】相逢是問候