01背包問題

有N件物品和一個容量為C的背包。第i件物品的費用是w[i]，價值是v[i]。求解將哪些物品裝入背包可使這些物品的費用總和不超過背包容量，且價值總和最大。

//w[i] 表示物品i的重量

//v[i] 表示物品i的價值

//C 表示背包的容量

//dp[i][c]表示前i件物品恰放入一個容量為c的背包可以獲得的最大價值

//dp[i][c] = max(dp[i-1][c],dp[i-1][c-w[i]]+v[i])

//降維後:dp[c] = max(dp[c],dp[c-w[i]]+v[i]) max裏的dp[c]和dp[c-w[i]]保存的是狀態dp[i-1][c]和狀態dp[i-1][c-w[i]]

//01 背包 降維:

memset(dp,0,sizeof(dp)); //init

for(int i=1; i<=n; i++)

for(int c=C; c>=w[i]; c--) //註意,c要由C倒推到w[i],c<w[i]時,dp[c] = dp[c]; 所以不用寫了...

dp[c] = max(dp[c],dp[c-w[i]]+v[i]); //c要倒推才能保證在推dp[c]時,max裏的dp[c]和dp[c-w[i]]保存的是狀態dp[i-1][c]和狀態dp[i-1][c-w[i]]的值

完全背包問題

有N種物品和一個容量為C的背包，每種物品都有無限件可用。第i種物品的費用是w[i]，價值是v[i]。求解將哪些物品裝入背包可使這些物品的費用總和不超過背包容量，且價值總和最大

狀態轉移方程:

dp[i][c] = max(dp[i-1][c],dp[i][c-w[i]]+v[i])

降維後: dp[c] = max(dp[c],dp[c-w[i]]+v[i]) max裏的dp[c]和dp[c-w[i]]保存的是狀態dp[i-1][c]和狀態dp[i][c-w[i]]的值

//完全 背包 降維:

memset(dp,0,sizeof(dp)); //init

for(int i=1; i<=n; i++)

for(int c=w[i]; c<=C; c--) //註意,c要正推

dp[c] = max(dp[c],dp[c-w[i]]+v[i]); //c要正推才能保證在推dp[c]時,max裏的dp[c]和dp[c-w[i]]保存的是狀態dp[i-1][c]和狀態dp[i][c-w[i]]的值

一維的背包問題