題目描述

一個無向連通圖，頂點從1編號到N，邊從1編號到M。 小Z在該圖上進行隨機遊走，初始時小Z在1號頂點，每一步小Z以相等的概率隨機選 擇當前頂點的某條邊，沿著這條邊走到下一個頂點，獲得等於這條邊的編號的分數。當小Z 到達N號頂點時遊走結束，總分為所有獲得的分數之和。 現在，請你對這M條邊進行編號，使得小Z獲得的總分的期望值最小。

輸入輸出格式

第一行是正整數N和M，分別表示該圖的頂點數 和邊數，接下來M行每行是整數u，v(1<=u,v<=N)，表示頂點u與頂點v之間存在一條邊。 輸入保證30%的數據滿足N<=10，100%的數據滿足2<=N<=500且是一個無向簡單連通圖。

僅包含一個實數，表示最小的期望值，保留3位小數。

輸入輸出樣例

3 3
2 3
1 2
1 3

3.333

說明

邊(1,2)編號為1，邊(1,3)編號2，邊(2,3)編號為3。

題解 ：

　　期望dp。

　　貪心地想，我們肯定要往那個期望到達次數最大的邊賦最小的權值；

　　所以問題轉化成了求邊的期望到達次數；

　　我們發現一條邊連著唯一的兩個點，我們要知道邊的期望，首先要知道到達每個點的期望次數；

　　我們設f[i]表示第i個點的期望到達次數，即f[i] = ∑(f[to[i]] * deg[to[i]]) ,deg[i]表示一個點的度數；

　　這樣我們發現可以高斯消元解出；要註意的是1號點的期望還得加上1因為從他開始必定經過；

　　然後求g[i]，即邊i的期望到達次數，g[i] = f[l[i]]/deg[l[i]] + f[r[i]]/deg[r[i]],l r表示這個邊鏈接的兩個點；

　　要註意如果是n號點的話，就不用考慮，因為到了n點就不會繼續遊走了；

　　然後就貪心地賦邊權；

Code：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using
 
 namespace std;
#define eps 1e-8

int n, m;
struct edge
{
    int from, to;
    int nxt;
}ed[500010];
int deg[505], head[505];
int cnt;
int fr[500010], tt[500010];
inline void add(int x, int y){ed[++cnt] = (edge){x, y, head[x]};head[x] = cnt;}

double g[250010];
double a[505][505];
double ans;

inline void Gauss_()
{
    for (register int i = 1 ; i < n ; i ++)
    {
        int pivot = i ;
        for (register int j = i + 1 ; j < n ; j ++)
        {
            if (fabs(a[j][i] - a[pivot][i]) <= eps) pivot = j;
        }
        if (pivot != i)
            for (register int j = 1 ; j <= n ; j ++)
                swap(a[i][j], a[pivot][j]);
        for (register int j = n ; j >= i ; j --) a[i][j] /= a[i][i];
        for (register int j = 1 ; j < n ; j ++) 
            if (i != j) 
                for (register int k = n ; k >= i ; k --)
                    a[j][k] -= a[j][i] * a[i][k];
    }
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (register int i = 1; i <= m; i ++)
    {
        int x, y;
        scanf("%d%d", &x, &y);
        deg[x]++, deg[y]++;
        fr[i] = x, tt[i] = y;
        add(x, y);
        add(y, x);
    }
    
    a[1][n] = 1;
    for (register int i = 1; i < n; i ++)
    {
        a[i][i] = 1;
        for (register int j = head[i]; j; j = ed[j].nxt)
        {
            int to = ed[j].to ;
            if (to != n) a[i][to] = -1.0/deg[to];
        }
    }
    
    Gauss_();
        
    for (register int i = 1 ; i <= m ; i ++)
    {
        if (fr[i] != n )
            g[i] += a[fr[i]][n] * (1.0 / deg[fr[i]]) ;
        if (tt[i] != n)
            g[i] += a[tt[i]][n] * (1.0 / deg[tt[i]]);
    }
    
    sort(g + 1, g + 1 + m);
    for (register int i = 1 ; i <= m ; i ++) 
        ans += (m - i + 1) * 1.0 * g[i];
    printf("%.3lf", ans);
    
    return 0;
    
}

[HNOI2013][BZOJ3143] 遊走 - 高斯消元