隱式馬爾科夫模型

設Q是所有可能的狀態的集合, V是所有可能的觀察的集合
\[ Q = \{ q_1,q_2,..,q_N\}, V = \{v_1,v_2,...,v_M\} \]
N是所有可能的狀態數, M是所有可能的觀測數

\(I\) 是長度為\(T\)的狀態序列, \(O\)是對應的觀測序列
\[ I=\{i_1,i_2,...,i_T\},O=\{o_1,o_2,...,o_T\}, \]
狀態轉移矩陣A
\[ A=[a_{ij}]_{N \times N} \ \quad where \ a_{ij}=P(o_{t+1}=q_j|i_t=q_i), \ i=1,2,...N; j=1,2,...N \]

\(a_{ij}\)表示時刻t處於狀態\(q_i\)的條件下在時刻t+1轉移到狀態\(q_j\)的概率

觀測概率矩陣B
\[ B=[b_j(k)]_{N \times M} \ \quad where \ b_j(k)=P(o_t=v_k|i_t=q_j), \ k=1,2,...M, j=1,2,...N \]
\(b_j(k)\)表示時刻t處於狀態\(q_j\)的條件下生成觀測\(v_k\)的概率

初始狀態概率向量\(\pi\)
\[ \pi=(\pi_i), \ \quad where \ \pi_i=P(i_1=q_i) \]
表示在初始時刻狀態為\(q_i\)概率

因此: 這三個概率組成了隱式馬爾可夫模型的三要素\(\lambda=(A,B,\pi)\)

兩個假設

• 齊次馬爾可夫假設: 隱式馬爾可夫鏈在任意時刻t的狀態只依賴其前一時刻, 與其他時刻的狀態和觀測無關
• 觀測獨立假設: 任意時刻的觀測只依賴於該時刻的馬爾科夫鏈的狀態, 與其他時刻的狀態和觀測無關

註意理解:

• 同一狀態可以有不同的觀測結果
• 每個時間點對應的是一個狀態序列和一個觀測序列, 而不是單個狀態和單個觀測

隱式馬爾科夫模型