題目描述

已知N個正整數：A1、A2、……、An 。今要將它們分成M組，使得各組數據的數值和最平均，即各組的均方差最小。均方差公式如下：

輸入輸出格式

輸入格式：

輸入文件data.in包括：

第一行是兩個整數，表示N,M的值（N是整數個數，M是要分成的組數）

第二行有N個整數，表示A1、A2、……、An。整數的範圍是1--50。

（同一行的整數間用空格分開）

輸出格式：

輸出文件data.out包括一行，這一行只包含一個數，表示最小均方差的值(保留小數點後兩位數字)。

輸入輸出樣例

6 3
1 2 3 4 5 6

0.00

說明

樣例解釋：1和6、2和5、3和4分別為一組

【數據規模】

對於40%的數據，保證有K<=N <= 10，2<=K<=6

對於全部的數據，保證有K<=N <= 20，2<=K<=6

Solution：

　　不多逼逼，直接退火。

　　我們首先對式子拆開得到：$\sigma ^2 * m= \sum\limits_{i=1}^{i\leq m}{(x_i-\overline{x})^2}=\sum\limits_{i=1}^{i\leq m}{x_i^2}-2\overline{x}\sum\limits_{i=1}^{i\leq m}{x_i}+\sum\limits_{i=1}^{i\leq m}{\overline{x}}$。

　　因為和不變，組數固定，所以可以確定的是$m$組的平均值$\overline{x}$和總和$\sum\limits_{i=1}^{i\leq m}{x_i}$是定值，所以我們現在只要使得$\sum\limits_{i=1}^{i\leq m}{x_i^2}$盡可能的小。

　　然後我們引入基本不等式；$a^2+b^2\geq 2ab$，證明顯然，於是得到$a^2+b^2\geq \frac{(a+b)^2}{2}$。

　　推廣到多元：$x_1^2+x_2^2+…+x_k^2\geq \frac{(x_1+x_2+…x_k)^2}{k}$，證明很簡單，直接左右同乘$k$，再對右式拆開，移項就能得到多個二元基本不等式，合起來就好了。

　　考慮取等條件，$x_1=x_2=…=x_k$。

　　於是本題我們要使$\sum\limits_{i=1}^{i\leq m}{x_i^2}$盡可能小，就得使$x_i$盡可能相等。

　　那麽直接模擬退火，隨機出某個數的分組，貪心的將其加入到當前和最少的分組中，有一定概率的使用較差的解，調好常數，多隨機一下就好了。

　　最後只需要輸出$\sqrt{\frac{sum}{m}}$就$OK$了。

代碼：

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 #define il inline
 3 #define ll long long
 4 #define For(i,a,b) for(int (i)=(a);(i)<=(b);(i)++)
 5 #define Bor(i,a,b) for(int (i)=(b);(i)>=(a);(i)--)
 6 #define Max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
 7 #define Min(a,b) ((a)>(b)?(b):(a))
 8 #define sqr(a) ((a)*(a))
 9 using namespace std;
10 const int inf=1e9+7;
11 const double eps=1e-15,r=0.99;
12 int n,m,num[25],be[25];
13 double sum[25],ave=0,ans=1e15;
14 
15 il void SA(){
16     memset(sum,0,sizeof(sum));
17     double tmp=0,T=10005;
18     For(i,1,n) be[i]=rand()%m+1,sum[be[i]]+=num[i];
19     For(i,1,m) tmp+=sqr(sum[i]-ave);
20     while(T>eps){
21         int p=min_element(sum+1,sum+m+1)-sum;
22         int pos=rand()%n+1;
23         double pre=tmp;
24         tmp-=sqr(sum[be[pos]]-ave)+sqr(sum[p]-ave);
25         sum[be[pos]]-=num[pos],sum[p]+=num[pos];
26         tmp+=sqr(sum[be[pos]]-ave)+sqr(sum[p]-ave);
27         if(tmp<pre||exp((tmp-pre)/T)*RAND_MAX<rand()) be[pos]=p;
28         else tmp=pre,sum[be[pos]]+=num[pos],sum[p]-=num[pos];
29         T*=r;
30     }
31     if(tmp<ans)ans=tmp;
32 }
33 
34 int main(){
35     srand(time(0));
36     cin>>n>>m;
37     For(i,1,n) cin>>num[i],ave+=num[i];
38     ave/=m;
39     For(i,1,1000) SA();
40     printf("%.2lf",sqrt(ans/m));
41     return 0;
42 }

P2503 [HAOI2006]均分數據