博弈論筆記--03--叠代剔除和中位選民定理
叠代剔除策略:先站在所有人的角度，刪除所有的劣勢策略，然後重復這個過程。
Game One--中間選民定理的例子
博弈者：2個Players需要選擇自己的政治立場。
策略選項：一共有1-10種政治立場，每種都有10%的選民支持。
收益:候選者要最大化取得選票，他們需要勝利。
1代表極端左派(保守)，10代表極端右派(激進)
這些選民最終會選擇最接近他們的候選人進行投票。
這個博弈不會出現平局。
分析：
這裏存在一個劣勢策略，那就是選擇立場1。
選擇了立場1，收益沒有其他立場收益高。
比如：
V1 \(u_i\)(1,1) = 50%,\(u_i\)(2,1) = 90%
V2 \(u_i\)(1,2) = 10%,\(u_i\)(2,2) = 50%
V3 \(u_i\)(1,3) = 15%,\(u_i\)(2,3) = 20%
V4 \(u_i\)(1,4) = 20%,\(u_i\)(2,4) = 25%
…………
同理可以得到另一個劣勢策略，那就是選擇立場10
結論：此時立場2嚴格優於1，立場9嚴格優於10
以此類推，叠代刪除最終會得到的優勢策略為立場5和立場6.
這個模型在政治學中叫做"中間選民定理"
預測了候選人將會向中間立場靠攏。
缺陷:
1.現實中有多名候選人，不只是兩名
2.候選人的立場可能不堅定，不能承諾政策實施
3選擇候選人的時侯是包含其他維度(條件)的，比如選民喜好等
4.選民的投票不是均勻分布的(但是實際不影響結果)
5.選民可能會棄權
Conclusion:
模型都是抽象的對於上面的例子是否立場3嚴格優於立場2？
由於U1(2,1)=90% < U1(3,1)=85%
所以立場3不嚴格優於立場2
但是當我們已經明確候選人已經不會選擇立場1和立場10這兩個嚴格劣勢策略的時候，
立場3才嚴格優於立場2。
這裏只是相當與去掉了立場1和立場10，但是選票和選民依然存在。
V2 \(u_i\)(2,2) = 50%, \(u_i\)(3,2) = 80%
V3 \(u_i\)(2,3) = 20%, \(u_i\)(3,3) = 50%
V4 \(u_i\)(2,4) = 25%, \(u_i\)(3,4) = 30%
V5 \(u_i\)(2,5) = 30%, \(u_i\)(3,5) = 35%
V6 \(u_i\)(2,6) = 35% ,\(u_i\)(3,6) = 40%
V7 \(u_i\)(2,7) = 40% ,\(u_i\)(3,7) = 45%
V8 \(u_i\)(2,8) = 45%, \(u_i\)(3,8) = 50%
V9 \(u_i\)(2,9) = 50% ,\(u_i\)(3,9) = 55%
…………A different approach :Best Response
Game Two--Player1會選擇上中下，Player2可以選擇左右，
收益如下：
| P1/P2 | L | R |
|---|---|---|
| U | 5,1 | 0,2 |
| M | 1,3 | 4,1 |
| D | 4,2 | 2,3 |
如果是Player1,他的BR(Best Response)？
選擇"上"是對應Player2選擇"左"的最佳選擇
選擇"中"是對應Player2選擇"右"的最佳選擇
當對手選擇左右的概率相等的時候，此時最好的選擇是下。
Ui(u)=0.55+50=2.5收益
Ui(M)=10.5+40.5=2.5收益
Ui(D)=0.54+0.52=3收益
但是情況可能不一樣，比如Player2選擇左右的概率為pos1,pos2時就需要重新計算。
假設Player2選擇右的概率為\(P_x\),收益如下：
\(u(U,L)\) = \((1-P_x)\)* 5 + 0 * \(P_x\)= 5\(P_x\)
\(u(D,L)\) = \((1-P_x)\) 1 + 4 * \(P_x\) = 4 - 3 * \(P_x\)
\(u(M,L)\) = \((1-P_x)\)* 4 + 2 * \(P_x\) = 2 + 2 * \(P_x\)
所以畫圖表示如下：
其中\(P_1\)=\(u(U,L)\),\(P_2\)=\(u(D,L)\) ,\(P_3\)=\(u(M,L)\),橫坐標表示Player2選擇左的概率。
如果認為對方選擇右(R)的概率小於x的話，BR=U，相對的，如果概率大於y時，
BR=M，如果概率落在\(x\)~\(y\)之間，則BR=D。
聯立三個直線方程，可以求得
\(x=1/3\),\(y=2/3\)
博弈論筆記--03--叠代剔除和中位選民定理